本文与配套的文章《Dzyaloshinskii–Moriya-Interaction-DM矢量与DM系数（旧）》中对于DM矢量、DM系数的数学理解主要启发于臧佳栋组2016年的文章补充材料[^1]。其中的理解现已被更新，请读者移步对称性与DMI系数（新）以及配套的Dzyaloshinskii–Moriya-Interaction-DM矢量与DM系数（新）。本文内容并没有错，而是被认为复杂和臃肿，因此并不删除，仅为有兴趣的同学作为参考。

本文对于我们在Dzyaloshinskii–Moriya Vector and Coefficient DM矢量与DM系数中获得的DM系数进行对称性讨论。以期在不知具体的材料原子结构的情况下，仅通过晶格对称性，获得最一般的DM系数的结构及其性质。

此文相当于对于新罕布什尔大学臧佳栋组2016年的文章Emergence of skyrmions from rich parent phases in the molybdenum nitrides^[1]补充材料的第一部分的详细释读。

前情提要

在Dzyaloshinskii–Moriya Vector and Coefficient DM矢量与DM系数中，我们将以原子尺度下原子对形式存在的，离散的DM相互作用（Dzyaloshinskii–Moriya Interaction）：

(1)

$H_{\mathrm{DM}}=∑_{i<j} 𝐝_{ij}\cdot\left(𝐒_i\times𝐒_j\right)$

推导到宏观连续情况下：

(2)

$E_{\mathrm{DM}}=D_{\mu\alpha\nu}m_\mu\partial_\alpha m_\nu.$

其中的系数 $D_{\mu\alpha\nu}$ 叫做DM系数，是一个三阶张量，它与微观结构的关系可以写为表达式：

(3)

$D_{\mu\alpha\nu}=\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_jd_{ij\lambda}\varepsilon_{\lambda\mu\nu}\alpha_{ij}.$

此表达式中 $V$ 是结构原胞体积， $S_i,S_j$ 是两原子 $i,j$ 磁矩的模长， $d_{ij\lambda}$ 是(1)式中DM矢量 $𝐝_{ij}$ 的 $\lambda$ 分量， $\varepsilon_{\lambda\mu\nu}$ 是Levi-Civita符号， $\alpha_{ij}$ 是原子 $i,j$ 之间位移矢量的 $\alpha$ 分量。这里用到的希腊字母 $\alpha,\lambda,\mu,\nu$ 均表示 $x,y,z$ 或者 $1,2,3$ 。

有了公式(3)，那么对于任何一个已知详细结构、精确计算过微观的DM矢量 $𝐝_{ij}$ 的材料，我们都可以计算出它的DM系数，从而得知其宏观性质，比如知道其DMI是否存在，是Bloch type、Néel type或是二者混合（见前情文章的公式(4)）。

但是这对于研究者来说过于具体了。尤其是DM矢量 $𝐝_{ij}$ 的获得非常困难，往往需要复杂的第一性原理计算。比如，一个人辛辛苦苦得到了材料中每一组原子间的 $𝐝_{ij}$ ，结果到了最后一步套用公式(3)，发现所有的 $𝐝_{ij}$ 贡献互相抵消，获得结论该材料没有宏观DMI，岂不是笑掉大牙？所以，为了提前预估，我们希望在不使用最后一步公式(3)的情况下，仅仅通过公式(2)，用另一套分析思路，用部分的信息获得一些关于DM系数 $D_{\mu\alpha\nu}$ 的一般性质。

而结构分析中非常常用的“部分信息”就是材料的对称性。

对称性

下面的讨论不需公式(3)，只从公式(2)重新入手。

对于一个上过线性代数的物理生，相信都能想到如何使用对称性部分确定三阶张量 $D_{\mu\alpha\nu}$ 的性质：如果晶体在某种对称操作下保持不变，那么 $D_{\mu\alpha\nu}$ 在此变换下必然也要保持不变！

这种想法完全正确，只不过学术上为了严谨，我们有更装逼的说法，也就是Neumann’s principle：晶体产生的效应中不能出现晶体本身没有的不对称性（反说）。（正说：原因的对称必然反映在结果中）我用人话再写一遍便于查阅：

性质1： $D_{\mu\alpha\nu}$ 必须至少满足晶格已有的对称性

好了，数学上怎么应用这句话呢？学过线性代数的同学们肯定直接想到：不就是 $D=\text{晶体对称操作}(D)$ 吗？不就是三阶张量吗？3维空间的变换操作不是就是个3×3矩阵吗？简单啊！假设这里“晶体对称操作”写成矩阵 $\sigma_{ij}$ ，

$D_{ijk}=\sigma_{ip}\sigma_{jq}\sigma_{kr}D_{pqr}.$

可是，咋说呢？对也不对。

因为上面这个式子其实用的是极张量（也就是真·张量。是一般意义上的张量，比如速度矢量）的变换公式。相对应的还有一个叫轴张量（也就是赝张量、假·张量。比如两个极矢量叉乘产生轴矢量）变换公式： $D'_{ijk}=|\sigma|\sigma_{ip}\sigma_{jq}\sigma_{kr}D_{pqr}$ （ $|\sigma|$ 是行列式）。对于旋转变换（ $|\sigma|=1$ ），两种张量的表现完全一样。二者的区别就在于对于存在反演、镜面的操作（ $|\sigma|=-1$ ），假张量会和真张量的效果不同，多一个负号。

那我们的 $D_{\mu\alpha\nu}$ 是极张量还是轴张量呢？

看公式(2)。等号左边是能量，明显是一个极标量（能量不可能在空间反演下变号）；等号右边 $m_\mu,m_\nu$ 为轴矢量， $\partial_\alpha$ 是极矢量，三者相乘为极张量。那么剩下的 $D_{\mu\alpha\nu}$ 必须是极张量。

这里仅仅使用公式(2)进行讨论，其实也可以用公式(3)直观看出来。^[2]

所以上面用的极张量变换公式是对的，但是这个思维过程不能省。

性质2： $D_{\mu\alpha\nu}$ 是三阶极张量

(4)

$D_{ijk}=\sigma_{ip}\sigma_{jq}\sigma_{kr}D_{pqr}.$

总结一下，对于一个已知对称性（宏观对称性，也就是点群point group）的晶体结构，我们列出其所有对称操作，也就是所有可能的 $\sigma$ ，带入公式(4)中，列出方程组，就能将 $D_{ijk}$ 原本多达27个的自由分量进行缩减，获得最一般的三阶极张量表达式。这就是所谓三阶极张量 $D_{ijk}$ 的构造。

构造DM系数

数学细节

我们知道，一共只有32种晶体学点群，为每种点群找到最一般三阶极张量表达式虽然很烦，但不难。容易想到，这事肯定有人已经做过了。

所以数学细节请大家看教科书Birss, Brr . Symmetry and magnetism. North-Holland Pub. Co, 1964.第二章2-5小节。推导过程中用到了一个叫generating matrices的手段。

在书中第56页及后面几页的表格4中，作者列出了我们想要的结果：32种点群分别对应的3阶极张量的一般形式。

表1：32种3阶极张量的一般形式（备查，很长）

赫尔曼–莫甘（简写记号）	熊夫利记号	独立分量个数	分量关系
$1$	$\mathrm{C}_1$	27	全部独立
$\bar{1}$	$\mathrm{C}_{\mathrm{i}}=\mathrm{S}_2$	0	全零
$2$	$\mathrm{C}_2$	13	333,113,131,311,223,232,322, 123,231,312,132,213,321独立其它为零
$\mathrm{m}$	$\mathrm{C}_{\mathrm{s}}=\mathrm{C}_{1\mathrm{h}}$	14	111,222,112,121,211,221,212,122, 331,313,133,332,323,233独立其它为零
$2/\mathrm{m}$	$\mathrm{C}_{2\mathrm{h}}$	0	全零
$222$	$\mathrm{D}_{2}=\mathrm{V}$	6	123,231,312,132,213,321独立其它为零
$\mathrm{mm}2$	$\mathrm{C}_{2\mathrm{v}}$	7	333,113,131,311,223,232,322独立其它为零
$\mathrm{mmm}$	$\mathrm{D}_{2\mathrm{h}}=\mathrm{V}_{\mathrm{h}}$	0	全零
$4$	$\mathrm{C}_4$	7	333 113=223,131=232,311=322 123=-213,231=-132,312=-321 其它为零
$\bar{4}$	$\mathrm{S}_4$	6	113=-223,131=-232,311=-322 123=213,231=132,312=321 其它为零
$4/\mathrm{m}$	$\mathrm{C}_{4\mathrm{h}}$	0	全零
$422$	$\mathrm{D}_4$	3	123=-213,231=-132,312=-321 其它为零
$4\mathrm{mm}$	$\mathrm{C}_{4\mathrm{v}}$	4	333 113=223,131=232,311=322 其它为零
$\bar{4}2/\mathrm{m}$	$\mathrm{D}_{2\mathrm{d}}=\mathrm{V}_{\mathrm{d}}$	3	123=213,231=132,312=321 其它为零
$4/\mathrm{mmm}$	$\mathrm{D}_{4\mathrm{h}}$	0	全零
$3$	$\mathrm{C}_3$	9	111=-221=-212=-122 222=-112=-121=-211 333 113=223,131=232,311=322 123=-213,231=-132,312=-321 其它为零
$\bar{3}$	$\mathrm{C}_{3\mathrm{i}}=\mathrm{S}_{6}$	0	全零
$32$	$\mathrm{D}_3$	4	222=-112=-121=-211 123=-213,231=-132,312=-321 其它为零
$3\mathrm{m}$	$\mathrm{C}_{3\mathrm{v}}$	5	111=-221=-212=-122 333 113=223,131=232,311=322 其它为零
$\bar{3}\mathrm{m}$	$\mathrm{D}_{3\mathrm{d}}$	0	全零
$6$	$\mathrm{C}_{6}$	7	333 113=223,131=232,311=322 123=-213,231=-132,312=-321 其它为零
$\bar{6}$	$\mathrm{C}_{3\mathrm{h}}$	2	111=-221=-212=-122 222=-112=-121=-211 其它为零
$6/\mathrm{m}$	$\mathrm{C}_{6\mathrm{h}}$	0	全零
$622$	$\mathrm{D}_{6}$	3	123=-213,231=-132,312=-321 其它为零
$6\mathrm{mm}$	$\mathrm{C}_{6\mathrm{v}}$	4	333 113=223,131=232,311=322 其它为零
$\bar{6}\mathrm{m}2$	$\mathrm{D}_{3\mathrm{h}}$	1	222=-112=-121=-211 其它为零
$6/\mathrm{mmm}$	$\mathrm{D}_{6\mathrm{h}}$	0	全零
$23$	$\mathrm{T}$	2	123=231=312 132=321=213 其它为零
$\mathrm{m}3$	$\mathrm{T}_{\mathrm{h}}$	0	全零
$432$	$\mathrm{O}$	1	123=231=312=-132=-321=-213 其它为零
$\bar{4}3\mathrm{m}$	$\mathrm{T}_{\mathrm{d}}$	1	123=231=312=132=321=213 其它为零
$\mathrm{m}3\mathrm{m}$	$\mathrm{O}_{\mathrm{h}}$	0	全零

其实没必要看表具体内容，我这里说一下我能从表中看到的简单信息提取：

32种点群中，共有21种点群存在非零的三阶极张量，剩下11种点群正正好是11种拥有中心反演对称的点群！^[3]这也是所谓“DMI的存在需要中心对称破缺”（Broken inversion symmetry）一句的来源之一。
21种点群对应的非零的三阶极张量有18种。 $\mathrm{C}_{4}$ ， $\mathrm{C}_{6}$ 同种； $\mathrm{D}_{4}$ ， $\mathrm{D}_{6}$ 同种； $\mathrm{C}_{4\mathrm{v}}$ ， $\mathrm{C}_{6\mathrm{v}}$ 同种。（这点没什么卵用，我就写一下）

还有一个性质

上面的对称性分析完全仅凭公式(2)得出，但是我们还能往下再走一点，努力在不看公式(3)的情况下寻找 $D_{\mu\alpha\nu}$ 的其它性质。

这时候，仅仅盯着公式(2)中的 $D_{\mu\alpha\nu}m_\mu\partial_\alpha m_\nu$ 就不够用了，我们必须回想一下 $m_\mu\partial_\alpha m_\nu$ 是怎么冒出来的。

在前情提要文章中（跳转链接）公式(6)-(8)， $m_\mu\partial_\alpha m_\nu$ 来自于叉乘 $\mathbf{m}_{i} \times \left( \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial x}x_{ij} + \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial y}y_{ij} + \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial z}z_{ij} \right)$ 。因此，即使你不需要知道本文公式(3) $D_{\mu\alpha\nu}$ 的具体表达式，你也应该知道 $D_{\mu\alpha\nu}$ 中包含了一个Levi-Civita符号： $\varepsilon_{\lambda\mu\nu}$ 。如果交换 $\mu,\nu$ ， $m_\mu\partial_\alpha m_\nu$ 与 $m_\nu\partial_\alpha m_\mu$ 系数必然相反。

那么 $D_{\mu\alpha\nu}=-D_{\nu\alpha\mu}$ ，因为 $\varepsilon_{\lambda\mu\nu}=-\varepsilon_{\lambda\nu\mu}$ 。显而易见，这一点会进一步帮助我们简化我们的 $D_{\mu\alpha\nu}$ 张量。

性质3： $D_{\mu\alpha\nu}=-D_{\nu\alpha\mu}$ ，特别地， $D_{\mu\alpha\mu}=0$

p.s. 这一性质，在臧佳栋的文章补充材料中^[1:1]同样提及。不过他的补充材料的推导是在动量 $𝐤$ 空间（进行Fourier变换，细节见我博文Fourier Transformation 傅里叶变换中Example）中进行的。算是殊途同归。

将性质3的约束加入之前的32种3阶极张量中。我们可以想象，独立分量的个数会进一步减小，甚至有的点群的DM系数会变成零。

表2：加入性质3后，32种3阶极张量的一般形式（备查）

赫尔曼–莫甘（简写记号）	熊夫利记号	独立分量个数	分量关系	分类
$1$	$\mathrm{C}_1$	9	112=-211,113=-331,122=-221 133=-331,223=-322,233=-332 123=-321,132=-231,213=-312 其它为零	M-I
$\bar{1}$	$\mathrm{C}_{\mathrm{i}}=\mathrm{S}_2$	0	全零
$2$	$\mathrm{C}_2$	5	113=-311,223=-322, 123=-321,231=-231,312=-213 其它为零	M-II
$\mathrm{m}$	$\mathrm{C}_{\mathrm{s}}=\mathrm{C}_{1\mathrm{h}}$	4	112=-211,221=-122, 331=-133,332=-233 其它为零	N-I
$2/\mathrm{m}$	$\mathrm{C}_{2\mathrm{h}}$	0	全零
$222$	$\mathrm{D}_{2}=\mathrm{V}$	3	123=-321,231=-132,312=-213 其它为零	B-I
$\mathrm{mm}2$	$\mathrm{C}_{2\mathrm{v}}$	2	113=-311,223=-322 其它为零	N-II
$\mathrm{mmm}$	$\mathrm{D}_{2\mathrm{h}}=\mathrm{V}_{\mathrm{h}}$	0	全零
$4$	$\mathrm{C}_4$	3	113=223=-311=-322 123=-213=-321=312,231=-132 其它为零	M-III
$\bar{4}$	$\mathrm{S}_4$	2	113=-223=-311=322 123=213=-321=-312 其它为零	M-IV
$4/\mathrm{m}$	$\mathrm{C}_{4\mathrm{h}}$	0	全零
$422$	$\mathrm{D}_4$	2	123=-213=-321=312,231=-132 其它为零	B-II
$4\mathrm{mm}$	$\mathrm{C}_{4\mathrm{v}}$	1	113=223=-311=-322 其它为零	N-III
$\bar{4}2/\mathrm{m}$	$\mathrm{D}_{2\mathrm{d}}=\mathrm{V}_{\mathrm{d}}$	1	123=213=-321=-312 其它为零	B-III
$4/\mathrm{mmm}$	$\mathrm{D}_{4\mathrm{h}}$	0	全零
$3$	$\mathrm{C}_3$	3	113=223=-311=-322 123=-213=-321=312,231=-132 其它为零	M-III
$\bar{3}$	$\mathrm{C}_{3\mathrm{i}}=\mathrm{S}_{6}$	0	全零
$32$	$\mathrm{D}_3$	2	123=-213=-321=312,231=-132 其它为零	B-II
$3\mathrm{m}$	$\mathrm{C}_{3\mathrm{v}}$	1	113=223=-311=-322 其它为零	N-III
$\bar{3}\mathrm{m}$	$\mathrm{D}_{3\mathrm{d}}$	0	全零
$6$	$\mathrm{C}_{6}$	3	113=223=-311=-322 123=-213=-321=312,231=-132 其它为零	M-III
$\bar{6}$	$\mathrm{C}_{3\mathrm{h}}$	0	全零
$6/\mathrm{m}$	$\mathrm{C}_{6\mathrm{h}}$	0	全零
$622$	$\mathrm{D}_{6}$	2	123=-213=-321=312,231=-132 其它为零	B-II
$6\mathrm{mm}$	$\mathrm{C}_{6\mathrm{v}}$	1	113=223=-311=-322 其它为零	N-III
$\bar{6}\mathrm{m}2$	$\mathrm{D}_{3\mathrm{h}}$	0	全零
$6/\mathrm{mmm}$	$\mathrm{D}_{6\mathrm{h}}$	0	全零
$23$	$\mathrm{T}$	1	123=231=312=-321=-132=-213 其它为零	B-IV
$\mathrm{m}3$	$\mathrm{T}_{\mathrm{h}}$	0	全零
$432$	$\mathrm{O}$	1	123=231=312=-132=-321=-213 其它为零	B-IV
$\bar{4}3\mathrm{m}$	$\mathrm{T}_{\mathrm{d}}$	0	全零
$\mathrm{m}3\mathrm{m}$	$\mathrm{O}_{\mathrm{h}}$	0	全零

直接看我的总结：

目前共有14种点群不能有非零DMI，新增加的3种为： $\bar{6}(\mathrm{C}_{3\mathrm{h}})$ ， $\bar{6}\mathrm{m}2(\mathrm{D}_{3\mathrm{h}})$ ， $432(\mathrm{O})$
还有18种点群可以拥有非零DMI，这些非零的3阶张量可以分为11种。

好了，到这里，我们的3条性质已经用全部完，已经知道了不同点群的3阶极张量的一般形式。下面的工作是进行分析汇总已有的结果。

在前情提要文章中，我们知道了DMI的种类如何反映在DM系数 $D_{\mu\alpha\nu}$ 的结构中。那么现在已知 $D_{\mu\alpha\nu}$ 的结构，自然可以反推出DMI的种类！

考虑到大家可能已经忘了Bloch/Néel type和 $D_{\mu\alpha\nu}$ 结构的关系，我这里带大家回顾一下：

DM系数结构与Bloch/Néel type

在前情提要文章中我们已经写出了

(5)

$E_{\mathrm{DM}}=\underbrace{\gamma_z𝐦\cdot(\partial_z\times𝐦)+\gamma_x𝐦\cdot(\partial_x\times𝐦)+\gamma_y𝐦\cdot(\partial_y\times𝐦)}_{\text{Bloch type}}+\underbrace{\xi_{\beta\alpha}(m_\beta\partial_\alpha m_\alpha-m_\alpha\partial_\alpha m_\beta)}_{\text{Néel type}},$

其中 $𝐦\cdot(\partial_z\times𝐦)$ 代表 $m_\mu\varepsilon_{\mu z\nu}\partial_z m_\nu= m_y\partial_z m_x-m_x\partial_z m_y$ 。

对比(5)与公式(2)中我们很容易看出：

Bloch type的DM系数 $\gamma_x,\gamma_y,\gamma_z$ 对应就是 $D_{312},D_{123},D_{231}$ （3个下标都不同）
Néel type的DM系数 $\xi_{\beta\alpha}$ 对应就是 $D_{122},D_{133},D_{233}$ 等等（3个下标有2个相同）
当然，还有可能存在Bloch type与Néel type混合的情况

结果汇总

最终，我们可以进行汇总了！

对照表2中不同点群的11种共18个非零 $D_{\mu\alpha\nu}$ ，与上面的Bloch/Néel type的DM系数对号入座，我们将点群分成三组：Bloch type、Néel type以及Mixed type。

Bloch type对应点群

点群	独立分量个数	分量关系	分类
$\mathrm{D}_{2}=\mathrm{V}$	3	123=-321,231=-132,312=-213	B-I
$\mathrm{D}_4$ ， $\mathrm{D}_3$ ， $\mathrm{D}_{6}$	2	123=-213=-321=312,231=-132	B-II
$\mathrm{D}_{2\mathrm{d}}=\mathrm{V}_{\mathrm{d}}$	1	123=213=-321=-312	B-III
$\mathrm{T}$ ， $\mathrm{O}$	1	123=231=312=-321=-132=-213	B-IV

Néel type对应点群

点群	独立分量个数	分量关系	分类
$\mathrm{C}_{\mathrm{s}}=\mathrm{C}_{1\mathrm{h}}$	4	112=-211,221=-122, 331=-133,332=-233	N-I
$\mathrm{C}_{2\mathrm{v}}$	2	113=-311,223=-322	N-II
$\mathrm{C}_{4\mathrm{v}}$ ， $\mathrm{C}_{3\mathrm{v}}$ ， $\mathrm{C}_{6\mathrm{v}}$	1	113=223=-311=-322	N-III

混合Mixed type对应点群

点群	独立分量个数	分量关系	分类
$\mathrm{C}_1$	9	112=-211,113=-331,122=-221 133=-331,223=-322,233=-332 123=-321,132=-321,213=-312	M-I
$\mathrm{C}_2$	5	113=-311,223=-322, 123=-321,231=-132,312=-213	M-II
$\mathrm{C}_4$ ， $\mathrm{C}_3$ ， $\mathrm{C}_{6}$	3	113=223=-311=-322 123=-213=-321=312,231=-132	M-III
$\mathrm{S}_4$	2	113=-223=-311=322 123=213=-321=-312	M-IV

读者看到这里，发现即使在最低对称性下，非零DMI系数分量也仅仅只有9个的时候，就应该敏感地想到，DMI系数定义为三阶张量实在过于臃肿，二阶张量正正好！！

对比发现与臧佳栋组文章的补充材料^[1:2]给出的表格（下图），很多地方相似，但又有好几处不同。。。。。。

啊这。。。。我检查过一遍自己的推导，自认没有问题。而臧佳栋组文章的补充材料此处说明有我看着矛盾的地方，因此我目前会相信自己的总结。

本文总结

梳理DM系数 $D_{\mu\alpha\nu}$ 的三个性质，尤其注意其为三阶极张量
根据晶体对称性（点群），构造不同点群下满足三个性质的 $D_{\mu\alpha\nu}$ 的一般形式
对不同点群对应的18个非零 $D_{\mu\alpha\nu}$ 进行分类，归类为Bloch type，Néel type以及Mixed type。

W. Li, et. al., Emergence of skyrmions from rich parent phases in the molybdenum nitrides, Phys. Rev. B 93, 060409® (2016) ↩︎ ↩︎ ↩︎
看公式(3)。首先， $d_{ij\lambda}$ ，也就是矢量 $𝐝_{ij}$ ，是个轴矢量（比如超交换相互作用的 $𝐝_{ij}\propto 𝐫_i\times𝐫_j$ ，叉乘出轴矢量）；其次， $\varepsilon_{\lambda\mu\nu}$ 在数学上也知道是个轴张量（三阶全反对称张量）。二个轴张量相乘，得到极张量。 ↩︎
见chem.ucl.ac.uk-Crystallographic Point-Group Symmetry中红色标注的点群 ↩︎

对称性与DMI系数（旧）

前情提要

对称性

构造DM系数

数学细节

还有一个性质

DM系数结构与Bloch/Néel type

结果汇总

Bloch type对应点群

Néel type对应点群

混合Mixed type对应点群

本文总结