强烈建议先看Exchange Coupling and Exchange Stiffness 交换关联与交换强度中的推导后再看本文作为对比。

基本定义

原子尺度 atomic scale

原子尺度的DM相互作用(Dzyaloshinskii–Moriya Interaction)的Hamiltonian由下式定义:

(1)

HDM=i<j𝐝ij(𝐒i×𝐒j)H_{\mathrm{DM}}=∑_{i<j} 𝐝_{ij}\cdot\left(𝐒_i\times𝐒_j\right)

其中𝐒i𝐒_i是相邻磁性原子的磁矩(并没有归一为方向矢量),𝐝ij𝐝_{ij}为DM vector,DM矢量。

微磁尺度(连续)micromagnetic scale

类似于海森堡交换相互作用中有微观的JJ与宏观连续状态下的对应𝑨𝑨,对应于微观的𝐝ij𝐝_{ij},我们也应该有宏观连续状态下的参数,可能是因为没找到更好的名称,我们把这个参数还称为:DD,至于这个参数应是几阶张量,有多少分量,我们下面继续看。(我一般使用的排版约定:标量DD,矢量𝐃𝐃,矩阵𝑫𝑫,更高阶张量D\boldsymbol{\mathsf{D}}\boldsymbol{\mathsf{D}}

首先,在文章中找到有能量密度公式:

(2)

EDM=D𝐦(×𝐦),E_{\mathrm{DM}}=D𝐦\cdot(\mathbf{\nabla}\times𝐦),

其中𝐦𝐦是磁矩𝐒𝐒的方向矢量。根据后面的推导,确定这实际是Bloch type DMI的能量公式。

而对于界面或二维材料中的DMI,倾向于Néel type skyrmion,能量密度公式有[1]

(3)

EDM=D[mz𝐦(𝐦)mz].E_{\mathrm{DM}}=D[m_z\mathbf{\nabla}\cdot𝐦-(𝐦\cdot\mathbf{\nabla})m_z].

目前,最为一般且简洁地表达式出现在2020年A. Manchon文章中[2]

(4)

EDM=Dij𝐞i(𝐦×j𝐦).E_{\mathrm{DM}}=D_{ij}𝐞_i\cdot(𝐦\times\partial_j𝐦).

其中𝐞i𝐞_iii方向上的单位矢量。

此外,在臧佳栋组文章[3]的补充材料中,还有一个表达式,原文献中的公式稍有错误,我更正后为:

(5)

EDM=γz𝐦(z×𝐦)+γx𝐦(x×𝐦)+γy𝐦(y×𝐦)Bloch type+ξβα(mβαmαmααmβ)Neˊel type,E_{\mathrm{DM}}=\underbrace{\gamma_z𝐦\cdot(\partial_z\times𝐦)+\gamma_x𝐦\cdot(\partial_x\times𝐦)+\gamma_y𝐦\cdot(\partial_y\times𝐦)}_{\text{Bloch type}}+\underbrace{\xi_{\beta\alpha}(m_\beta\partial_\alpha m_\alpha-m_\alpha\partial_\alpha m_\beta)}_{\text{Néel type}},

其中的系数γ,ξ\gamma,\xi就是DM系数的分量,只是还没有写成整合的数学结构;式子中𝐦(z×𝐦)𝐦\cdot(\partial_z\times𝐦)代表mμεμzνzmν=myzmxmxzmym_\mu\varepsilon_{\mu z\nu}\partial_z m_\nu= m_y\partial_z m_x-m_x\partial_z m_y。(5)式与(4)式实质等同,但是过于复杂(详见《Dzyaloshinskii–Moriya-Interaction-DM矢量与DM系数(旧)》),仅放此处作为参考。

后面我将从原子尺度到微磁尺度,从(1)式出发,解释(2)(3)(4)的来历。

DM coefficient 推导(𝐝表示𝐷)

一般情况

假设𝐒𝐒连续,计算在一个体积微元VV中的能量,由(1)得:

(6)

EDM=1Vi<j𝐝ij(𝐒i×𝐒j)=1Vi<j𝐒i𝐒j𝐝ij(𝐦i×𝐦j)=1Vi<jSiSj𝐝ij(𝐦i×𝐦j)\begin{aligned} E_{\mathrm{DM}}&=\frac{1}{V}∑_{i<j} 𝐝_{ij}\cdot\left(𝐒_i\times𝐒_j\right)\\ &=\frac{1}{V}∑_{i<j} |𝐒_i||𝐒_j|𝐝_{ij}\cdot\left(𝐦_i\times𝐦_j\right)\\ &=\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j𝐝_{ij}\cdot\left(𝐦_i\times𝐦_j\right) \end{aligned}

𝐦j𝐦_j泰勒展开

mj=mi+[mxmymz][xijyijzij]+,{\mathbf{m}_{j} = \mathbf{m}_{i} + \begin{bmatrix} \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial x} & \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial y} & \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial z} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{ij} \\ y_{ij} \\ z_{ij} \\ \end{bmatrix} + \ldots, }

其中𝐫ij=(xij,yij,zij)𝐫_{ij}=(x_{ij},y_{ij},z_{ij})是原子i,ji,j之间的位矢。对比海森堡相互作用,我们没有展开到二级,因为一级展开就已经足够。

所以有:

(7)

mi×mj=0+mi×(mxxij+myyij+mzzij){\mathbf{m}_{i} \times \mathbf{m}_{j} = 0 + \mathbf{m}_{i} \times \left( \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial x}x_{ij} + \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial y}y_{ij} + \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial z}z_{ij} \right) }

(8)

EDM=1Vi<jSiSj𝐝ij[mi×(mxxij+myyij+mzzij)]\begin{aligned} E_{\mathrm{DM}}&=\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j𝐝_{ij}\cdot\left[\mathbf{m}_{i} \times \left( \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial x}x_{ij} + \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial y}y_{ij} + \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial z}z_{ij} \right) \right]\\ \end{aligned}

写成分量形式,用希腊字母α,λ,μ,ν\alpha,\lambda,\mu,\nu等指代x,y,zx,y,z

(9)

EDM=1Vi<jSiSjdijλελμνmμmνααij=1Vi<jSiSjdijλελμνmμαmναij=(1Vi<jSiSjdijλαij)ελμνmμαmν\begin{aligned} E_{\mathrm{DM}}&=\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_jd_{ij\lambda}\varepsilon_{\lambda\mu\nu}m_\mu\frac{\partial m_\nu}{\partial \alpha}\alpha_{ij}\\ &=\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_jd_{ij\lambda}\varepsilon_{\lambda\mu\nu}m_\mu\partial_\alpha m_\nu\alpha_{ij}\\ &=\left(\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_jd_{ij\lambda}\alpha_{ij}\right)\varepsilon_{\lambda\mu\nu}m_\mu\partial_\alpha m_\nu \end{aligned}

经过化简,我们发现EDME_{\mathrm{DM}}表达式中𝐦𝐦的出场方式为ελμνmμαmν\varepsilon_{\lambda\mu\nu}m_\mu\partial_\alpha m_\nu,或者写为(𝐦×α𝐦)λ(𝐦\times\partial_\alpha𝐦)_\lambda,除去哑指标共有两个下标α,λ\alpha,\lambda,说明其系数应该是个二阶张量,也就是上式中括号内的内容:

(10)

Dλα=1Vi<jSiSjdijλαij,D_{\lambda\alpha}=\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_jd_{ij\lambda}\alpha_{ij},

而能量公式(9)即变为:

(11)

EDM=Dλαελμνmμαmν=Dλα(𝐦×α𝐦)λ=Dλα𝐞λ(𝐦×α𝐦)\begin{aligned} E_{\mathrm{DM}}&=D_{\lambda\alpha}\varepsilon_{\lambda\mu\nu}m_\mu\partial_\alpha m_\nu\\ &=D_{\lambda\alpha}(𝐦\times\partial_\alpha𝐦)_\lambda=D_{\lambda\alpha}𝐞_\lambda\cdot(𝐦\times\partial_\alpha𝐦) \end{aligned}

也就是公式(4)。(这里可以稍稍对比一下海森堡交换相互作用得到的结果Eex=AαβαmγβmγE_{\mathrm{ex}}=A_{\alpha\beta}\partial_\alpha m_\gamma\partial_\beta m_\gamma。)

也就是说(4)式表示的是最最一般情况下的微磁尺度DMI能量表达式。且DM系数是一个二阶张量,由公式(10)给出。(10)式是分量形式写出的,它也可以用矢量符号的形式写出:

(12)

𝑫=1Vi<jSiSj𝐝ij𝐫ij.𝑫=\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j𝐝_{ij}𝐫_{ij}.

其中𝐝ij𝐫ij𝐝_{ij}𝐫_{ij}是一个并矢(dyadic product)。

除了这里的最一般表达式,我们知道DMI可以类比于磁畴壁的分类分为Bloch type与Néel type。它们都是DMI在特殊情况下的特殊形式(公式(2)(3))。一般来说,是DM矢量𝐝𝐝决定了DMI的类型,下面我们就来推导证明一下。

Bloch Type DMI(𝐝平行𝐫)

对于Bloch type(布洛赫型)DMI,[4]磁矩本身转动方向与磁矩随位置变化的方向垂直,可以想象需要𝐝𝐫𝐝\parallel𝐫才能有这样的效果:

𝐝ij=𝐝ij𝐫^ij=dij𝐫^ij=dij𝐫ij/rij𝐝_{ij}=|𝐝_{ij}|\hat{𝐫}_{ij}=d'_{ij}\hat{𝐫}_{ij}=d'_{ij}𝐫_{ij}/r_{ij}

这里我将𝐝𝐝的模长命名为dd'纯粹为了避免和𝐝𝐝的矢量分量dijλd_{ij\lambda}混淆。dijλ=dijrijλijd_{ij\lambda}=\frac{d'_{ij}}{r_{ij}}\lambda_{ij}

因此我们能够化简(12):

(13)

𝑫=1Vi<jSiSj𝐝ij𝐫ij=1Vi<jSiSjdijrij𝐫ij𝐫ij.\begin{aligned} 𝑫&=\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j𝐝_{ij}𝐫_{ij}\\ &=\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j\frac{d'_{ij}}{r_{ij}}𝐫_{ij}𝐫_{ij}. \end{aligned}

其中𝐫ij𝐫ij𝐫_{ij}𝐫_{ij}就是并矢。显然,这个并矢产生的矩阵一定是对称的,求和之后依然对称,也因此一定可以对角化!所以,假设我们计算得到了新的主坐标系,依然标注新坐标轴为x,y,zx,y,z,此时𝑫𝑫已经对角化为:

(14)

𝑫=1Vi<jSiSjdijrij𝐫ij𝐫ij=[Dx0Dy0Dz]Dλδλα=Dαδλα𝑫=\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j\frac{d'_{ij}}{r_{ij}}𝐫_{ij}𝐫_{ij}=\begin{bmatrix} D_{x} & & 0 \\ & D_{y} & \\ 0 & & D_{z} \\ \end{bmatrix}\Leftarrow D_\lambda\delta_{\lambda\alpha}=D_\alpha\delta_{\lambda\alpha}\,

带入到(11)或(4)式中,可得:

EDM=Dλδλαελμνmμαmν=Dαεαμνmμαmν=Dαmμεμαναmν=Dx𝐦(x×𝐦)Dy𝐦(y×𝐦)Dz𝐦(z×𝐦)\begin{aligned} E_{\mathrm{DM}}&=D_\lambda\delta_{\lambda\alpha}\varepsilon_{\lambda\mu\nu}m_\mu\partial_\alpha m_\nu\\ &=D_\alpha\varepsilon_{\alpha\mu\nu}m_\mu\partial_\alpha m_\nu\\ &=-D_\alpha m_\mu\varepsilon_{\mu\alpha\nu}\partial_\alpha m_\nu\\ &=-D_x𝐦\cdot(\partial_x\times𝐦)-D_y𝐦\cdot(\partial_y\times𝐦)-D_z𝐦\cdot(\partial_z\times𝐦) \end{aligned}

这正好等同于了(5)式中的Bloch type部分!注意系数前面的负号不是什么本质的东西,重新定义DxDxD_x\rightarrow-D_x即可。

如果我们有各项同性使得Dx=Dy=Dz=DD_x=D_y=D_z=-D(这里的负号只是为了消除能量公式中的负号而已),那么就能得到更为简洁的公式:

EDM=D𝐦(×𝐦),E_{\mathrm{DM}}=D𝐦\cdot(\mathbf{\nabla}\times𝐦),

也就是公式(2)。

Néel Type DMI(𝐝垂直𝐫)

下面这段数学证明依然不完善。。。

上面Bloch type DMI的推导我们已经发现,通过坐标变换为主轴的方式,DMI系数𝑫𝑫的对角元可以完备的描述Bloch type DMI。那么我们自然可以推测,是不是𝑫𝑫的非对角元正好就可以完备的描述Néel type DMI了呢?[4:1]

对于Néel type 𝐝𝐫𝐝\perp 𝐫,根据(12)式得到的DMI系数𝑫𝑫有性质:

(15)

Tr(𝑫)𝐝𝐫=0\mathrm{Tr}(𝑫)\propto\sum 𝐝\cdot𝐫=0

通过Néel type DMI系数的零迹性质,我们应该能够证明,存在一个正交变换𝑷𝑷(即坐标旋转),使得𝑷𝑫𝑷𝑷^\intercal𝑫𝑷等于一个对角元全部为0的矩阵。我目前没有找到证明的方法,仅仅搜索到一个稍微弱一些的证明[5]:对于零迹方阵𝑫𝑫,存在可逆矩阵𝑹𝑹,使得相似变换𝑹1𝑫𝑹𝑹^{-1}𝑫𝑹等于一个对角元全部为0的矩阵。

Néel Type DMI 简化版(二维材料,𝐝垂直𝐫,𝐳)

这里考虑𝐝𝐫𝐝\perp 𝐫同时𝐝𝐳𝐝\perp 𝐳的情况,即

(14)

𝐝ij=𝐝ij𝐳^×𝐫ij𝐳^×𝐫ij=dij𝐳^×𝐫ij𝐳^×𝐫ij,𝐝_{ij}=|𝐝_{ij}|\frac{\hat{𝐳}\times𝐫_{ij}}{|\hat{𝐳}\times𝐫_{ij}|}=d'_{ij}\frac{\hat{𝐳}\times 𝐫_{ij}}{|\hat{𝐳}\times 𝐫_{ij}|},

同上,dd'𝐝𝐝的模长。那么𝐝ij𝐝_{ij}的分量dijd_{ij}可以写为:

dijλ=dijελζηδζzηijxij2+yij2=dijxij2+yij2ελzηηij.\begin{aligned} d_{ij\lambda} &=d'_{ij}\frac{\varepsilon_{\lambda\zeta\eta}\delta_{\zeta z}\eta_{ij}}{\sqrt{x_{ij}^2+y_{ij}^2}}\\ &=\frac{d'_{ij}}{\sqrt{x_{ij}^2+y_{ij}^2}}\varepsilon_{\lambda z \eta}\eta_{ij}. \end{aligned}

带入公式(9):

(15)

Dμαν=1Vi<jSiSjdijxij2+yij2ελzηηijελμναij=1Vi<jSiSjdijxij2+yij2ηijαij(δzμδηνδzνδημ)=1Vi<jSiSjdijxij2+yij2αij(νijδzμμijδzν).\begin{aligned} D_{\mu\alpha\nu}&=\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j\frac{d'_{ij}}{\sqrt{x_{ij}^2+y_{ij}^2}}\varepsilon_{\lambda z \eta}\eta_{ij}\varepsilon_{\lambda\mu\nu}\alpha_{ij}\\ &=\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j\frac{d'_{ij}}{\sqrt{x_{ij}^2+y_{ij}^2}}\eta_{ij}\alpha_{ij}\left(\delta_{z\mu}\delta_{\eta\nu}-\delta_{z\nu}\delta_{\eta\mu}\right)\\ &=\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j\frac{d'_{ij}}{\sqrt{x_{ij}^2+y_{ij}^2}}\alpha_{ij}\left(\nu_{ij}\delta_{z\mu}-\mu_{ij}\delta_{z\nu}\right). \end{aligned}

带入(10):

(16)

EDM=1Vi<jSiSjdijxij2+yij2αij(νijδzμμijδzν)mμαmν=(1Vi<jSiSjdijxij2+yij2αijνij)mzαmν(1Vi<jSiSjdijxij2+yij2αijμij)mμαmz\begin{aligned} E_{\mathrm{DM}}&=\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j\frac{d'_{ij}}{\sqrt{x_{ij}^2+y_{ij}^2}}\alpha_{ij}\left(\nu_{ij}\delta_{z\mu}-\mu_{ij}\delta_{z\nu}\right)m_\mu\partial_\alpha m_\nu\\ &=\left(\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j\frac{d'_{ij}}{\sqrt{x_{ij}^2+y_{ij}^2}}\alpha_{ij}\nu_{ij}\right)m_z\partial_\alpha m_\nu-\left(\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j\frac{d'_{ij}}{\sqrt{x_{ij}^2+y_{ij}^2}}\alpha_{ij}\mu_{ij}\right)m_\mu\partial_\alpha m_z\\ \end{aligned}

好了,到这里了,很多同学感觉,他可以了!自然而然有下面的推导:

按照上面公式(12)处的分析,此处括号内的无论1Vi<jSiSjdijxij2+yij2αijνij\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j\frac{d'_{ij}}{\sqrt{x_{ij}^2+y_{ij}^2}}\alpha_{ij}\nu_{ij}还是1Vi<jSiSjdijxij2+yij2αijμij\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j\frac{d'_{ij}}{\sqrt{x_{ij}^2+y_{ij}^2}}\alpha_{ij}\mu_{ij}都可以同时被对角化,也就是可以被写为DαδανD_\alpha\delta_{\alpha\nu}或者DαδαμD_\alpha\delta_{\alpha\mu},从而得到:

(17)

EDM=DαδανmzαmνDαδαμmμαmz=DνmzνmνDμmμμmz\begin{aligned} E_{\mathrm{DM}}&=D_\alpha\delta_{\alpha\nu}m_z\partial_\alpha m_\nu-D_\alpha\delta_{\alpha\mu}m_\mu\partial_\alpha m_z\\ &=D_\nu m_z\partial_\nu m_\nu - D_\mu m_\mu\partial_\mu m_z \end{aligned}

若有对称性使得Dx=Dy=Dz=DD_x=D_y=D_z=D,就能得到:

EDM=D(mzνmνmμμmz)=D[mz𝐦(𝐦)mz]\begin{aligned} E_{\mathrm{DM}}&=D ( m_z\partial_\nu m_\nu - m_\mu\partial_\mu m_z)\\ &=D[m_z\mathbf{\nabla}\cdot𝐦-(𝐦\cdot\mathbf{\nabla})m_z] \end{aligned}

也就是公式(3)。以上。

可惜,虽然貌似得到了完美的结果,可是过程与假设有重大错误!


点击查看错在哪里

对角化之后我们不能保证新的zz轴与原zz轴相同!一旦zz轴发生变化,我们最开始的公式(14)都是错的,何谈后面的推导。

上面的推导当然不是一无是处,但如果要求正确,必须要zz轴本身就是1Vi<jSiSjdijxij2+yij2αijνij\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j\frac{d'_{ij}}{\sqrt{x_{ij}^2+y_{ij}^2}}\alpha_{ij}\nu_{ij}的主轴方向之一。比如产生DMI的所有原子对关于xyxy平面上下镜面对称,特例是所有DMI原子对在xyxy平面内,并矢矩阵分量有xijzij,yijzijx_{ij}z_{ij},y_{ij}z_{ij}同时还有xijzij,yijzij-x_{ij}z_{ij},-y_{ij}z_{ij},求和后xz,yzxz,yz分量都为0,那么zz轴就是主轴。

注意,我说的是“产生DMI的所有原子对上下镜面对称”,而不是“整个体系上下镜面对称”。如果体系本身也是上下对称的,反而也不会有DMI了,因为上层DM矢量是𝐳^×𝐫ij\hat{𝐳}\times𝐫_{ij},下层按照对称性,不是𝐳^×𝐫ij\hat{𝐳}\times𝐫_{ij}而是𝐳^×𝐫ij-\hat{𝐳}\times𝐫_{ij}了。。。

可以想象,一个体系如果没有上下zz方向镜面对称,但是DMI只在层内(xyxy平面内,“产生DMI的所有原子对上下镜面对称”),那么还是可以有非零DM能量的。

直观理解DM系数

本文总结

本文:

  1. 从微观原子尺度下的DMI哈密顿量HDM=i<j𝐝ij(𝐒i×𝐒j)H_{\mathrm{DM}}=∑_{i<j} 𝐝_{ij}\cdot\left(𝐒_i\times𝐒_j\right)推广到宏观连续的DMI能量EDM=DμανmμαmνE_{\mathrm{DM}}=D_{\mu\alpha\nu}m_\mu\partial_\alpha m_\nu
  2. 定义了DM系数,并给出了DM系数DμανD_{\mu\alpha\nu}(宏观)和DM矢量𝐝ij𝐝_{ij}(微观)之间的联系,也就是Dμαν=1Vi<jSiSjdijλελμναijD_{\mu\alpha\nu}=\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_jd_{ij\lambda}\varepsilon_{\lambda\mu\nu}\alpha_{ij}
  3. 讨论了DM矢量𝐝ij𝐝_{ij}​的方向如何影响DMI的种类,Bloch type或者是Néel type
  4. 公式(4)展示了DMI的种类如何反映在DM系数DμανD_{\mu\alpha\nu}的结构中

本文告诉我们在所有信息都已知的情况下,DMI相关的参数用数学如何表示。但在实际科研中,我们经常需要在信息不全的情况下对DMI的性质进行预测。比如预测材料是否有可能存在非零DMI,甚至不做任何计算就预测材料中的DMI是Bloch type还是Néel type。

这种预测是可能的,因为对于晶体材料,我们拥有大杀器:对称性。下一篇文章↓↓↓,我将分析:对称性与DMI。

对称性与DMI系数
  1. Wang, X.S., Yuan, H.Y. & Wang, X.R. A theory on skyrmion size. Commun Phys 1, 31 (2018). https://doi.org/10.1038/s42005-018-0029-0 ↩︎

  2. S. Laref, K.-W. Kim, and A. Manchon, Elusive Dzyaloshinskii-Moriya interaction in monolayer Fe3GeTe2, Phys. Rev. B 102, 060402® (2020). https://doi.org/10.1103/PhysRevB.102.060402 ↩︎

  3. Li, Wei et al., Emergence of skyrmions from rich parent phases in the molybdenum nitrides, Phys. Rev. B 93, 060409 (2016). https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.93.060409 Supplemental Material ↩︎

  4. 在一些文章中Bloch type DMI被称为bulk DMI,即块材DMI。相对应地,Néel Type DMI称为interfacial DMI,简写为iDMI,即界面DMI。 ↩︎ ↩︎

  5. https://math.stackexchange.com/questions/1140438/if-mathrmtra-0-then-t-r-1ar-has-all-entries-on-its-main-diagonal-equ,或者https://zhuanlan.zhihu.com/p/392828915。 ↩︎