傅里叶级数到傅里叶变换

傅里叶级数和傅里叶变换是什么关系? - 知乎 https://www.zhihu.com/question/21665935.

No.1 离散的傅里叶级数

x(a2,a2)x\in \left(-\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right)

基:

1a2asin(2πnax)2acos(2πnax)\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{a}}\\ \sqrt{\frac{2}{a}}\sin \left(\frac{2\pi n}{a}x\right)\\ \sqrt{\frac{2}{a}}\cos \left(\frac{2\pi n}{a}x\right) \end{aligned}

展开式:

f(x)=12A0+n=1+[Ansin(2πnax)+Bnsin(2πnax)]f(x) = \frac12A_0+\sum_{n=1}^{+\infty}\left[A_n\sin\left(\frac{2\pi n}{a}x\right)+B_n\sin\left(\frac{2\pi n}{a}x\right)\right]

注意这里展开式我没用标准的,归一化过的基,因此,下面的系数计算公式前面的常数需要注意。

计算系数:

A0=2aa/2a/2f(x)dxAn=2aa/2a/2f(x)sin(2πnax)dxAn=2aa/2a/2f(x)cos(2πnax)dx\begin{aligned} A_0=\frac{2}{a}\int_{-a/2}^{a/2}f(x)\,\mathrm{d}x\\ A_n=\frac{2}{a}\int_{-a/2}^{a/2}f(x)\sin\left(\frac{2\pi n}{a}x\right)\,\mathrm{d}x\\ A_n=\frac{2}{a}\int_{-a/2}^{a/2}f(x)\cos\left(\frac{2\pi n}{a}x\right)\,\mathrm{d}x \end{aligned}

No. 2 傅里叶级数复数表示

x(a2,a2)x\in \left(-\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right)

基:

Un=1aei(2πnx/a)U_n=\frac{1}{\sqrt{a}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(2\pi nx/a)}

展开式:

f(x)=1an=+Anei(2πnx/a)f(x) = \frac{1}{\sqrt{a}}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}A_n\mathrm{e}^{\mathrm{i}(2\pi nx/a)}

计算系数:

An=1aa/2a/2f(x)ei(2πnx/a)dxA_n=\frac{1}{\sqrt{a}}\int_{-a/2}^{a/2}f(x)\mathrm{e}^{\mathrm{-i}(2\pi nx/a)}\,\mathrm{d}x

No. 3 连续情况:傅里叶变换

If the interval of xx, aa, becomes infinite, 2πnx/a2\pi nx/a becomes continuous.

2πnak,  dk=2πadn,  An2πaA(k)\frac{2\pi n}{a}\rightarrow k,\ \ \mathrm{d}k=\frac{2\pi}{a}\mathrm{d}n,\ \ A_n\rightarrow \sqrt{\frac{2\pi}{a}}A(k)

An2πaA(k)A_n\rightarrow \sqrt{\frac{2\pi}{a}}A(k)中的系数由12πeikx\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}的归一性确定。

展开式:

f(x)=1an=+Anei(2πnx/a)1aa2πA(k)eikxdkf(x)=12π+A(k)eikxdk\begin{aligned} f(x)=&\frac{1}{\sqrt{a}}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}A_n\mathrm{e}^{\mathrm{i}(2\pi nx/a)}\longrightarrow \frac{1}{\sqrt{a}}\frac{a}{2\pi}\int A(k)\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}\,\mathrm{d}k \\ f(x)=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}A(k)\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}\,\mathrm{d}k \end{aligned}

计算系数:

A(k)=a2πAn=a2π1a+f(x)eikxdxA(k)=12π+f(x)eikxdx.\begin{aligned} A(k)=&\sqrt{\frac{a}{2\pi}}A_n=\sqrt{\frac{a}{2\pi}}\frac{1}{\sqrt{a}}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm{e}^{\mathrm{-i}kx}\,\mathrm{d}x\\ A(k)=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm{e}^{\mathrm{-i}kx}\,\mathrm{d}x. \end{aligned}

傅里叶变换系数

主要在于不同的材料使用的傅里叶变换前的系数各有不同,这会对材料的阅读造成不必要的麻烦。

Fxω[f(x,)]=F(ω,)F(ω,)=1c1+f(x,)ec2iωxdx\mathscr{F}_{x\rightarrow\omega}[f(x,\cdot)] = F(\omega,\cdot)\\ F(\omega,\cdot) = \dfrac{1}{c_1}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,\cdot)e^{c_2i\omega x}\mathrm{d}x

Typical choices for the coefficients c1,c2c_1,c_2 are:

Haberman: c1=2π,c2=1Most common: c1=1,c2=1Wolfram Alpha: c1=2π,c2=1Wikipedia: c1=1,c2=2π\begin{aligned} \text{Haberman: } & & c_1 = 2\pi, & & c_2 = 1\\ \text{Most common: } & & c_1 = 1, & & c_2 = 1\\ \text{Wolfram Alpha: } & & c_1 = \sqrt{2\pi}, & & c_2 = 1\\ \text{Wikipedia: } & & c_1 = 1, & & c_2 = -2\pi\\ \end{aligned}

Fourier’s theorem: if f(x,)f(x,\cdot) is continuous, then

f(x,)=1c3+F(ω,)ec2iωxdω,f(x,\cdot) = \dfrac{1}{c_3}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega,\cdot)e^{-c_2i\omega x}\mathrm{d}\omega,

where

c3=2πc1c2.c_3 = \dfrac{2\pi}{|c_1||c_2|}.

Example in Magnetism

对于磁性材料的磁结构𝐒(𝐫)𝐒(𝐫)的能量可由下面的公式表示:

E=A(𝐒)2+D𝐒(×𝐒)E=A(\nabla𝐒)^2+D𝐒\cdot(\nabla\times𝐒)

第一项是Heisenberg Interaction,在铁磁状态下能量最低(有A>0A>0),倾向于使得磁矩平行排列。需要注意𝐒\nabla𝐒是二阶张量,(𝐒)2(\nabla𝐒)^2其实代表(𝐒)ij(𝐒)ij(\nabla𝐒)_{ij}(\nabla𝐒)_{ij}

第二项是DMI,倾向于使得相邻磁矩产生夹角。

请将上面的公式变换为kk空间中的,关于𝐤,𝐒𝐤𝐤,𝐒_𝐤的函数。其中𝐒𝐤𝐒_𝐤定义为:

𝐒𝐤=𝐒(𝐫)exp(i𝐤𝐫)d𝐫𝐒_𝐤=\int 𝐒(𝐫)\exp(\mathrm{i}𝐤\cdot𝐫)\,\mathrm{d}𝐫

推导Heisenberg Interaction项

首先有:

𝐒(𝐫)=1(2π)3𝐒𝐤exp(i𝐤𝐫)d𝐤𝐒(𝐫)=\frac{1}{(2\pi)^3}\int 𝐒_𝐤\exp(-\mathrm{i}𝐤\cdot𝐫)\,\mathrm{d}𝐤

那么能量项中𝐒(𝐫)𝐒(𝐫)用上式展开:

EHei=d𝐫A(𝐒)ij(𝐒)ij=Ad𝐫iSjiSj=A(2π)6d𝐫(iS𝐤1,jexp(i𝐤1𝐫)d𝐤1)(iS𝐤2,jexp(i𝐤2𝐫)d𝐤2)=A(2π)6d𝐫(ik1,i)(ik2,i)S𝐤1,jS𝐤2,jexp[i(𝐤1+𝐤2)𝐫]d𝐤1d𝐤2=A(2π)6(ik1,i)(ik2,i)S𝐤1,jS𝐤2,jδ(𝐤1+𝐤2)d𝐤1d𝐤2\begin{aligned} E_{\mathrm{Hei}}=&\int \mathrm{d}𝐫 \,A(\nabla𝐒)_{ij}(\nabla𝐒)_{ij}\\ =&A\int \mathrm{d}𝐫 \,\partial_iS_j\partial_iS_j\\ =&\frac{A}{(2\pi)^6}\int \mathrm{d}𝐫 \,\left(\partial_i\int S_{𝐤_1,j}\exp(-\mathrm{i}𝐤_1\cdot𝐫)\,\mathrm{d}𝐤_1\right)\left(\partial_i\int S_{𝐤_2,j}\exp(-\mathrm{i}𝐤_2\cdot𝐫)\,\mathrm{d}𝐤_2\right)\\ =&\frac{A}{(2\pi)^6}\int \mathrm{d}𝐫 \,\iint (-\mathrm{i}k_{1,i})(-\mathrm{i}k_{2,i})S_{𝐤_1,j}S_{𝐤_2,j}\exp[-\mathrm{i}(𝐤_1+𝐤_2)\cdot𝐫]\,\mathrm{d}𝐤_1\,\mathrm{d}𝐤_2\\ =&\frac{A}{(2\pi)^6}\iint (-\mathrm{i}k_{1,i})(-\mathrm{i}k_{2,i})S_{𝐤_1,j}S_{𝐤_2,j}\delta(𝐤_1+𝐤_2)\,\mathrm{d}𝐤_1\,\mathrm{d}𝐤_2 \end{aligned}

最后一步用到了Kronecker delta函数的Fourier transform:

δ(x)=12π+eiωxdω\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\,\mathrm{d}\omega

那么能量公式中对𝐤2𝐤_2的积分使得𝐤2=𝐤1𝐤_2=-𝐤_1

EHei=A(2π)3(ik1,i)(ik1,i)S𝐤1,jS𝐤1,jd𝐤1=A(2π)3𝐤12𝐒𝐤1𝐒𝐤1d𝐤1\begin{aligned} E_{\mathrm{Hei}}=&\frac{A}{(2\pi)^3}\int (-\mathrm{i}k_{1,i})(\mathrm{i}k_{1,i})S_{𝐤_1,j}S_{-𝐤_1,j}\,\mathrm{d}𝐤_1\\ =&\frac{A}{(2\pi)^3}\int𝐤_1^2𝐒_{𝐤_1}\cdot𝐒_{-𝐤_1}\,\mathrm{d}𝐤_1 \end{aligned}

这里还需要用到一个简单的推论:

𝐒𝐤=𝐒(𝐫)exp(i𝐤𝐫)d𝐫=𝐒𝐤𝐒_{-𝐤}=\int 𝐒(𝐫)\exp(-\mathrm{i}𝐤\cdot𝐫)\,\mathrm{d}𝐫=𝐒_{𝐤}^*

星号即代表复共轭。然后继续化简能量:

EHei=A(2π)3𝐤12𝐒𝐤1𝐒𝐤1d𝐤1=A(2π)3𝐤12𝐒𝐤12d𝐤1\begin{aligned} E_{\mathrm{Hei}}=&\frac{A}{(2\pi)^3}\int𝐤_1^2𝐒_{𝐤_1}\cdot𝐒^*_{𝐤_1}\,\mathrm{d}𝐤_1\\ =&\frac{A}{(2\pi)^3}\int𝐤_1^2|𝐒_{𝐤_1}|^2\,\mathrm{d}𝐤_1 \end{aligned}

因此,kk空间中的Heisenberg能量表达:

EHei(𝐤)=A(2π)3𝐤2𝐒𝐤2EHei=EHei(𝐤)d𝐤\begin{aligned} E_{\mathrm{Hei}}(𝐤)=&\frac{A}{(2\pi)^3}𝐤^2|𝐒_{𝐤}|^2\\ E_{\mathrm{Hei}}=&\int E_{\mathrm{Hei}}(𝐤)\,\mathrm{d}𝐤 \end{aligned}

注意系数1/(2π)31/(2\pi)^3不是本质的东西,可以通过修改𝐒𝐤𝐒_{𝐤}定义式中的傅里叶变换系数来消除。

推导DMI项

能量项中𝐒(𝐫)𝐒(𝐫)用上式展开:

EDMI=d𝐫D𝐒(×𝐒)=Dd𝐫εlmnSlmSn=D(2π)6d𝐫εlmn(S𝐤1,lexp(i𝐤1𝐫)d𝐤1)(mS𝐤2,nexp(i𝐤2𝐫)d𝐤2)=D(2π)6d𝐫εlmn(ik2,m)S𝐤1,lS𝐤2,nexp[i(𝐤1+𝐤2)𝐫]d𝐤1d𝐤2=D(2π)6εlmn(ik2,m)S𝐤1,lS𝐤2,nδ(𝐤1+𝐤2)d𝐤1d𝐤2=D(2π)3εlmn(ik1,m)S𝐤1,lS𝐤1,nd𝐤1=iD(2π)3𝐒𝐤1(𝐤1×𝐒𝐤1)d𝐤1\begin{aligned} E_{\mathrm{DMI}}=&\int \mathrm{d}𝐫 \,D𝐒\cdot(\nabla\times𝐒)\\ =&D\int \mathrm{d}𝐫 \,\varepsilon_{lmn}S_l\partial_mS_n\\ =&\frac{D}{(2\pi)^6}\int \mathrm{d}𝐫 \,\varepsilon_{lmn}\left(\int S_{𝐤_1,l}\exp(-\mathrm{i}𝐤_1\cdot𝐫)\,\mathrm{d}𝐤_1\right)\left(\partial_m\int S_{𝐤_2,n}\exp(-\mathrm{i}𝐤_2\cdot𝐫)\,\mathrm{d}𝐤_2\right)\\ =&\frac{D}{(2\pi)^6}\int \mathrm{d}𝐫 \,\iint \varepsilon_{lmn}(-\mathrm{i}k_{2,m})S_{𝐤_1,l}S_{𝐤_2,n}\exp[-\mathrm{i}(𝐤_1+𝐤_2)\cdot𝐫]\,\mathrm{d}𝐤_1\,\mathrm{d}𝐤_2\\ =&\frac{D}{(2\pi)^6}\iint \varepsilon_{lmn}(-\mathrm{i}k_{2,m})S_{𝐤_1,l}S_{𝐤_2,n}\delta(𝐤_1+𝐤_2)\,\mathrm{d}𝐤_1\,\mathrm{d}𝐤_2\\ =&\frac{D}{(2\pi)^3}\int \varepsilon_{lmn}(\mathrm{i}k_{1,m})S_{𝐤_1,l}S_{-𝐤_1,n}\,\mathrm{d}𝐤_1\\ =&\frac{\mathrm{i}D}{(2\pi)^3}\int 𝐒_{𝐤_1}\cdot(𝐤_1\times 𝐒_{-𝐤_1})\,\mathrm{d}𝐤_1\\ \end{aligned}

因此,kk空间中的DMI能量表达:

EDMI(𝐤)=iD(2π)3𝐒𝐤(𝐤×𝐒𝐤)EDMI=EDMI(𝐤)d𝐤\begin{aligned} E_{\mathrm{DMI}}(𝐤)=&\frac{\mathrm{i}D}{(2\pi)^3}𝐒_{𝐤}\cdot(𝐤\times 𝐒_{-𝐤})\\ E_{\mathrm{DMI}}=&\int E_{\mathrm{DMI}}(𝐤)\,\mathrm{d}𝐤 \end{aligned}

同样系数1/(2π)31/(2\pi)^3不是本质的东西。