基本定义

微观

微观层面的磁交换相互作用的Hamiltonian由下式定义:

(1)

Hex=12(2Jij𝐒i𝐒j)H_{\mathrm{ex}}=\frac12 \left(-2J∑_{i≠j}𝐒_i⋅𝐒_j\right)

其中𝐒i𝐒_i是相邻磁性原子的磁矩(并没有归一为方向矢量),JJ为exchang coupling。

需要注意的是,这种定义意味着对于每一对交换相互作用,其能量为Eex,perlink=2J𝐒i𝐒jE_{\mathrm{ex,perlink}}=-2J𝐒_i⋅𝐒_j,有系数为2而非是1!这也是一般教科书或维基百科中的定义方法。[1][2]

宏观(连续情况)

Exchange stiffness 交换强度最一般地可以由一个张量𝑨𝑨(分量为AαβA_{\alpha\beta}α,β=x,y,z\alpha,\beta=x,y,z;我采用的符号约定:标量AA,矢量A\mathbf{A},二阶张量𝑨𝑨。)表示。由下面交换相互作用能量密度的公式定义:

(2)

Eex=[mxmymz][AxxAxyAxzAyxAyyAyzAzxAzyAzz][mxmymz]=Aαβmγαmγβ,E_{\mathrm{ex}}=\begin{bmatrix} \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial x} & \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial y} & \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial z} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A_{xx} & A_{xy} & A_{xz} \\ A_{yx} & A_{yy} & A_{yz} \\ A_{zx} & A_{zy} & A_{zz} \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial x} \\ \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial y} \\ \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial z} \\ \end{bmatrix} =A_{\alpha\beta}\frac{m_\gamma}{\partial\alpha}\frac{m_\gamma}{\partial\beta},

其中𝐦𝐦是磁矩𝐒𝐒的方向矢量。

但是,在更多的情况下,我们看到的交换强度是一个标量AA,对应能量密度为:

(3)

Eex=A[(𝐦x)2+(𝐦y)2+(𝐦z)2]=A(𝐦)2E_{\mathrm{ex}}=A\left[\left(\frac{∂𝐦}{∂x}\right)^2+\left(\frac{∂𝐦}{∂y}\right)^2+\left(\frac{∂𝐦}{∂z}\right)^2\right]=A(\mathbf{\nabla}𝐦)^2

[3] 可以很明显的看出,无论𝑨𝑨还是AA,都是JJ在磁矩连续情况下的对应物。下面我就将推导𝑨,A𝑨,A关于JJ的表达式,以及𝑨𝑨AA的关系。需要注意的是,既然我们将要用到𝐒𝐒的连续性,那么我们的体系不能是反铁磁的(即,要求J>0J>0)。

Exchange Stiffness 推导(J表示A)

假设𝐒𝐒连续,我们将(1)推导出(2)。

计算在一个体积微元VV中的能量,由(1)可知:

Hex=2Ji<j in V𝐒i𝐒jH_{\mathrm{ex}}=-2J∑_{i<j\text{ in }V}𝐒_i⋅𝐒_j

能量密度为:

Eex=2JVi<j in V𝐒i𝐒j=2JVi<j in V𝐦i𝐦j𝐒i𝐒j\begin{aligned} E_{\mathrm{ex}}&=-\frac{2J}{V}∑_{i<j\text{ in }V}𝐒_i⋅𝐒_j\\ &=-\frac{2J}{V}∑_{i<j\text{ in }V}𝐦_i⋅𝐦_j|𝐒_i||𝐒_j| \end{aligned}

为了最一般情况,我们认为JJ对于不同的磁矩对可能不同:

(4)

Eex=2Vi<j in VJijSiSj𝐦i𝐦jE_{\mathrm{ex}}=-\frac{2}{V}∑_{i<j\text{ in }V}J_{ij}S_iS_j𝐦_i⋅𝐦_j

𝐦j𝐦_j泰勒展开

mj=mi+[mxmymz][xijyijzij]+12[xijyijzij][2mx22mxy2mxz2myx2my22myz2mzx2mzy2mz2][xijyijzij]+,{\mathbf{m}_{j} = \mathbf{m}_{i} + \begin{bmatrix} \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial x} & \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial y} & \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial z} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{ij} \\ y_{ij} \\ z_{ij} \\ \end{bmatrix} + \frac{1}{2}\begin{bmatrix} x_{ij} & y_{ij} & z_{ij} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{\partial^{2}\mathbf{m}}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2}\mathbf{m}}{\partial x\partial y} & \frac{\partial^{2}\mathbf{m}}{\partial x\partial z} \\ \frac{\partial^{2}\mathbf{m}}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^{2}\mathbf{m}}{\partial y^{2}} & \frac{\partial^{2}\mathbf{m}}{\partial y\partial z} \\ \frac{\partial^{2}\mathbf{m}}{\partial z\partial x} & \frac{\partial^{2}\mathbf{m}}{\partial z\partial y} & \frac{\partial^{2}\mathbf{m}}{\partial z^{2}} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{ij} \\ y_{ij} \\ z_{ij} \\ \end{bmatrix} + \ldots, }

其中𝐫ij=(xij,yij,zij)𝐫_{ij}=(x_{ij},y_{ij},z_{ij})是原子i,ji,j之间的位矢。

所以有:

(5)

mimj=1+mi(mxxij+myyij+mzzij)+mi2[xijyijzij][2mx22mxy2mxz2myx2my22myz2mzx2mzy2mz2][xijyijzij]+{\mathbf{m}_{i} \cdot \mathbf{m}_{j} = 1 + \mathbf{m}_{i} \cdot \left( \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial x}x_{ij} + \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial y}y_{ij} + \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial z}z_{ij} \right) + }\begin{matrix} \frac{\mathbf{m}_{i}}{2} \cdot \begin{bmatrix} x_{ij} & y_{ij} & z_{ij} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{\partial^{2}\mathbf{m}}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2}\mathbf{m}}{\partial x\partial y} & \frac{\partial^{2}\mathbf{m}}{\partial x\partial z} \\ \frac{\partial^{2}\mathbf{m}}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^{2}\mathbf{m}}{\partial y^{2}} & \frac{\partial^{2}\mathbf{m}}{\partial y\partial z} \\ \frac{\partial^{2}\mathbf{m}}{\partial z\partial x} & \frac{\partial^{2}\mathbf{m}}{\partial z\partial y} & \frac{\partial^{2}\mathbf{m}}{\partial z^{2}} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{ij} \\ y_{ij} \\ z_{ij} \\ \end{bmatrix} + \ldots\\ \end{matrix}

(5)式中,第一项是能量中的常数项,与𝐦𝐦无关,可以舍去。第二项为零,因为在连续极限下,方向矢量𝐦i𝐦_i与其无穷小自身的方向变化是垂直的。忽略更高阶展开项,我们只考虑第三项。

关于第三项,同时考虑到有关系𝐦2𝐦αβ=(𝐦α)(𝐦β)𝐦\cdot\frac{\partial^2 𝐦}{\partial\alpha\partial\beta}=-\left(\frac{\partial 𝐦}{\partial \alpha}\right)\cdot\left(\frac{\partial 𝐦}{\partial \beta}\right)(证明用到(𝐦𝐦)1(𝐦\cdot 𝐦)\equiv1),我们最终得到[4]

Eex=1Vi<j in VJijSiSj[xijyijzij][(mx)2mxmymxmzmymx(my)2mymzmzmxmzmy(mz)2][xijyijzij]=1Vi<j in VJijSiSj[xijyijzij][mxmymz][mxmymz][xijyijzij]=1Vi<j in VJijSiSj[mxmymz][xijyijzij][xijyijzij][mxmymz]=[mxmymz]1Vi<j in VJijSiSj[xij2xijyijxijzijyijxijyij2yijzijzijxijzijyijzij2][mxmymz]\begin{aligned} E_{\mathrm{ex}}&={ \frac{1}{V}\sum_{i < j\text{ in }V}^{}{J_{ij}S_{i}S_{j}\begin{bmatrix} x_{ij} & y_{ij} & z_{ij} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \left( \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial x} \right)^{2} & \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial x} \cdot \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial y} & \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial x} \cdot \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial z} \\ \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial y} \cdot \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial x} & \left( \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial y} \right)^{2} & \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial y} \cdot \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial z} \\ \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial z} \cdot \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial x} & \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial z} \cdot \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial y} & \left( \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial z} \right)^{2} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{ij} \\ y_{ij} \\ z_{ij} \\ \end{bmatrix}} }\\ &={ \frac{1}{V}\sum_{i < j\text{ in }V}^{}{J_{ij}S_{i}S_{j}\begin{bmatrix} x_{ij} & y_{ij} & z_{ij} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial x} \\ \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial y} \\ \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial z} \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial x} & \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial y} & \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial z} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{ij} \\ y_{ij} \\ z_{ij} \\ \end{bmatrix}} }\\ &={ \frac{1}{V}\sum_{i < j\text{ in }V}^{}{J_{ij}S_{i}S_{j}\begin{bmatrix} \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial x} & \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial y} & \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial z} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{ij} \\ y_{ij} \\ z_{ij} \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_{ij} & y_{ij} & z_{ij} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial x} \\ \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial y} \\ \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial z} \\ \end{bmatrix}} }\\ &={\begin{matrix} \begin{bmatrix} \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial x} & \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial y} & \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial z} \\ \end{bmatrix}\frac{1}{V}\sum_{i < j\text{ in }V}^{}{J_{ij}S_{i}S_{j}\begin{bmatrix} x_{ij}^{2} & x_{ij}y_{ij} & x_{ij}z_{ij} \\ y_{ij}x_{ij} & y_{ij}^{2} & y_{ij}z_{ij} \\ z_{ij}x_{ij} & z_{ij}y_{ij} & z_{ij}^{2} \\ \end{bmatrix}} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial x} \\ \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial y} \\ \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial z} \\ \end{bmatrix} \\ \end{matrix} } \end{aligned}

可以看出,上式最后一行最中间的部分:

(6)

1Vi<j in VJijSiSj[xij2xijyijxijzijyijxijyij2yijzijzijxijzijyijzij2]\frac{1}{V}\sum_{i < j\text{ in }V}^{}{J_{ij}S_{i}S_{j}\begin{bmatrix} x_{ij}^{2} & x_{ij}y_{ij} & x_{ij}z_{ij} \\ y_{ij}x_{ij} & y_{ij}^{2} & y_{ij}z_{ij} \\ z_{ij}x_{ij} & z_{ij}y_{ij} & z_{ij}^{2} \\ \end{bmatrix}}

就是我们需要的交换强度张量𝑨𝑨,定义为:

(7)

Aαβ=1Vi<j in VJijSiSjαijβij.A_{\alpha\beta}=\frac{1}{V}\sum_{i < j\text{ in }V}^{}{J_{ij}S_{i}S_{j}\alpha_{ij}\beta_{ij}}.

这也就是公式(2)的由来。

当然这个张量有9个分量,显得过于复杂。不过,我们很容易发现,𝑨𝑨是实对称矩阵,我们可以计算它的三个互相正交的本征矢量。在本征矢组成的座标系下,𝑨𝑨可以被对角化,仅剩3个分量:

(8)

Eex=[mxmymz][Axx0Ayy0Azz][mxmymz]=Axx(mx)2+Ayy(my)2+Azz(mz)2.\begin{aligned} E_{\text{ex}} &= \begin{bmatrix} \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial x} & \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial y} & \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial z} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A_{xx} & & 0 \\ & A_{yy} & \\ 0 & & A_{zz} \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial x} \\ \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial y} \\ \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial z} \\ \end{bmatrix}\\ &={\begin{matrix} {A_{xx}\left( \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial x} \right)}^{2} + {A_{yy}\left( \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial y} \right)}^{2} + {A_{zz}\left( \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial z} \right)}^{2}.\\ \end{matrix} } \end{aligned}

这里我们仍然称新的座标轴x,y,zx,y,z,但是注意它们的方向不再是任意的。更近一步,对于常见的简单立方,体心立方,面心立方结构,𝑨𝑨都是各项同性的。也就是Axx=Ayy=Azz=AA_{xx}=A_{yy}=A_{zz}=A,这样,最终使得交换强度退化为一个常数:

Eex=A[(𝐦x)2+(𝐦y)2+(𝐦z)2],E_{\mathrm{ex}}=A\left[\left(\frac{∂𝐦}{∂x}\right)^2+\left(\frac{∂𝐦}{∂y}\right)^2+\left(\frac{∂𝐦}{∂z}\right)^2\right],

也就是公式(3)所示的定义。

某个方向上的 Exchange Stiffness

观察公式(8):

Eex=[mxmymz][Axx0Ayy0Azz][mxmymz]=Axx(mx)2+Ayy(my)2+Azz(mz)2.\begin{aligned} E_{\text{ex}} &= \begin{bmatrix} \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial x} & \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial y} & \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial z} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A_{xx} & & 0 \\ & A_{yy} & \\ 0 & & A_{zz} \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial x} \\ \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial y} \\ \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial z} \\ \end{bmatrix}\\ &={\begin{matrix} {A_{xx}\left( \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial x} \right)}^{2} + {A_{yy}\left( \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial y} \right)}^{2} + {A_{zz}\left( \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial z} \right)}^{2}.\\ \end{matrix} } \end{aligned}

假设,𝐦𝐦只在xx方向上变化(意思是:𝐦𝐦只是xx的函数,与y,zy,z无关,但是𝐦𝐦本身的指向变化无方向限制,没说𝐦(x1)𝐦(x2)𝐦(x_1)-𝐦(x_2)只在xx方向),my=mz=0\frac{\partial\mathbf{m}}{\partial y}=\frac{\partial\mathbf{m}}{\partial z}=0,那么能量就是Eex=Axx(mx)2E_{\text{ex}} =A_{xx}\left( \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial x} \right)^{2},系数仅剩下AxxA_{xx}。所以我们也可以认为,AxxA_{xx}是交换强度在xx方向上的分量。

那么对于任意方向𝐧=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)𝐧=(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta),若𝐦𝐦仅在𝐧𝐧方向上变化(同上,随位置变化而变化,对于𝐦𝐦本身的指向变化无方向限制):

𝐦(𝐫)𝐦(d)=𝐦(𝐫𝐧)=𝐦(xsinθcosφ+ysinθsinφ+zcosθ).𝐦(𝐫)\Rightarrow𝐦(d)=𝐦(𝐫\cdot𝐧)=𝐦(x\sin\theta\cos\varphi+y\sin\theta\sin\varphi+z\cos\theta).

带入公式(8):

Eex=[sinθcosφmdsinθsinφmdcosθmd][Axx0Ayy0Azz][sinθcosφmdsinθsinφmdcosθmd]=[sinθcosφsinθsinφcosθ][Axx0Ayy0Azz][sinθcosφsinθsinφcosθ](md)2=(sin2θcos2φAxx+sin2θsin2φAyy+cos3θAzz)(md)2,\begin{aligned} E_{\text{ex}} &= \begin{bmatrix} \sin\theta\cos\varphi\frac{\partial\mathbf{m}}{\partial d} & \sin\theta\sin\varphi\frac{\partial\mathbf{m}}{\partial d} & \cos\theta\frac{\partial\mathbf{m}}{\partial d} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A_{xx} & & 0 \\ & A_{yy} & \\ 0 & & A_{zz} \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \sin\theta\cos\varphi\frac{\partial\mathbf{m}}{\partial d} \\ \sin\theta\sin\varphi\frac{\partial\mathbf{m}}{\partial d} \\ \cos\theta\frac{\partial\mathbf{m}}{\partial d} \\ \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} \sin\theta\cos\varphi & \sin\theta\sin\varphi & \cos\theta \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A_{xx} & & 0 \\ & A_{yy} & \\ 0 & & A_{zz} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sin\theta\cos\varphi \\ \sin\theta\sin\varphi \\ \cos\theta \\ \end{bmatrix}\left( \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial d} \right)^{2}\\ &= \left(\sin^2\theta\cos^2\varphi A_{xx}+\sin^2\theta\sin^2\varphi A_{yy}+\cos^3\theta A_{zz}\right) \left( \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial d} \right)^{2}, \end{aligned}

系数就是在方向𝐧𝐧上的Exchange Stiffness:

(9)

A𝐧=sin2θcos2φAxx+sin2θsin2φAyy+cos3θAzz.A_𝐧=\sin^2\theta\cos^2\varphi A_{xx}+\sin^2\theta\sin^2\varphi A_{yy}+\cos^3\theta A_{zz}.

类似的,如果我们考虑二维情况,那么方向𝐧=(cosθ,sinθ)𝐧=(\cos\theta,\sin\theta)上的Exchange Stiffness为:

(10)

A𝐧=[cosθsinθ][Axx00Ayy][cosθsinθ]=cos2θAxx+sin2θAyy.\begin{aligned} A_𝐧&= \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A_{xx} & 0 \\ 0 & A_{yy} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \\ \end{bmatrix}\\ &=\cos^2\theta A_{xx}+\sin^2\theta A_{yy}. \end{aligned}

推导到此为止。

上面的计算其实就是建立在最一般的情况下,考虑到几乎所有书籍讲到这里时都使用各项同性的标量AA,所以这里的推导就是在为各项异性交换强度构建相应的理论。

书籍中默认采用标量AA,是因为很多材料都满足交换强度各项同性的要求,但是,必然有其它的存在。比如在K. D. Belashchenko的文章[5]中,提到了各向异性“方向交换强度”的一种应用:计算各向异性材料特殊方向上的Bloch磁畴壁(domain wall, DW)能量γ\gamma(也就是domain wall surface tension)。

对于各向同性的材料,有:

(11)

γ=4AK,\gamma=4\sqrt{AK},

其中KK是单轴磁晶各向异性系数;而若AA也各向异性,那么磁畴壁方向会影响能量。假设筹壁方向法向为𝐧𝐧,能量为:

(12)

γ𝐧=4A𝐧K,\gamma_𝐧=4\sqrt{A_𝐧K},

A𝐧A_𝐧由(9)或(10)式给出。不需要证明,看懂即可。若对一般Bloch磁畴壁能量公式(11)不熟悉,可见书籍[6]第三章第六节。

一些数学上的奇技淫巧(备用)

这里参考书目:Alex Hubert, Rudolf Schäfer Magnetic Domains The Analysis of Magnetic Microstructures (Springer, 2009) [6:1]第三章第二节。说是奇技淫巧,所以不是什么物理的东西。

  1. 公式(3)中(𝐦)2(\mathbf{\nabla}𝐦)^2可以被写成:

    (𝐦)2=(𝐦)2+(×𝐦)2[𝐦×(×𝐦)+𝐦(𝐦)](\mathbf{\nabla}𝐦)^2=(\mathbf{\nabla}\cdot𝐦)^2+(\mathbf{\nabla}\times𝐦)^2-\mathbf{\nabla}\cdot[𝐦\times(\mathbf{\nabla}\times𝐦)+𝐦(\mathbf{\nabla}\cdot𝐦)]

    也就是说,交换能(3)可写成:

    Eex=A[(𝐦)2+(×𝐦)2]dVA[𝐦×(×𝐦)+𝐦(𝐦)]d𝐒E_{\mathrm{ex}}=A\int \left[(\mathbf{\nabla}\cdot𝐦)^2+(\mathbf{\nabla}\times𝐦)^2\right]\,\mathrm{d}V-A\int[𝐦\times(\mathbf{\nabla}\times𝐦)+𝐦(\mathbf{\nabla}\cdot𝐦)]\cdot\mathrm{d}𝐒

    看起来没啥用,谁爱证谁证。

  2. 公式(3)还可以被写成:

    Eex=A(𝐦)2=A𝐦Δ𝐦,E_{\mathrm{ex}}=A(\mathbf{\nabla}𝐦)^2=-A𝐦\cdot\Delta𝐦,

    Δ\Delta是拉普拉斯算符;证明用到(𝐦𝐦)1(𝐦\cdot 𝐦)\equiv1

  3. 公式(3)在极坐标表示𝐦=(cosθcosφ,cosθsinφ,sinθ)𝐦=(\cos\theta\cos\varphi,\cos\theta\sin\varphi,\sin\theta)下,可写成:

    Eex=A[(θ)2+cos2θ(φ)2].E_{\mathrm{ex}}=A\left[(\mathbf{\nabla}\theta)^2+\cos^2\theta(\mathbf{\nabla}\varphi)^2\right].


  1. 但是,对于一些磁性模拟软件,将系数定为1,即Eex,perlink=J𝐒i𝐒jE_{\mathrm{ex,perlink}}=-J𝐒_i⋅𝐒_j,同时定义𝐒i𝐒_i为方向矢量(也就是𝐦𝐦),因为这样更方便理解。遇到这样的软件需要格外在意这些系数的定义,这些都影响着JJ的数值与单位。 ↩︎

  2. 作为参考,这种定义下,我们得到的简单立方结构的交换强度为:A=JS2aA = \frac{JS^{2}}{a}↩︎

  3. 这里(𝐦)2(\mathbf{\nabla}𝐦)^2是有些tricky的,因为张量平方怎么会变成一个标量。其实其用分量表示为:mγαmγα\frac{m_\gamma}{\partial\alpha}\frac{m_\gamma}{\partial\alpha},或者写成双点积(𝐦):(𝐦)(\mathbf{\nabla}𝐦):(\mathbf{\nabla}𝐦)↩︎

  4. 推导过程中,进行矩阵运算时,把m\mathbf{m}当成一个普通的数,而不要想象成一个行/列向量。只有最后进行点乘时才考虑m\mathbf{m}自身的分量。 ↩︎

  5. K. D. Belashchenko, Journal of Magnetism and Magnetic Materials 270:3 (April 2004) Anisotropy of Exchange Stiffness and Its Effect on the Properties of Magnets (unl.edu) ↩︎

  6. Alex Hubert, Rudolf Schäfer Magnetic Domains The Analysis of Magnetic Microstructures (Springer, 3rd, 2009) ↩︎ ↩︎