强烈建议先看Exchange Coupling and Exchange Stiffness 交换关联与交换强度中的推导后再看本文作为对比。

基本定义

微观

微观层面的DM相互作用(Dzyaloshinskii–Moriya Interaction)的Hamiltonian由下式定义:

(1)

HDM=i<j𝐝ij(𝐒i×𝐒j)H_{\mathrm{DM}}=∑_{i<j} 𝐝_{ij}\cdot\left(𝐒_i\times𝐒_j\right)

其中𝐒i𝐒_i是相邻磁性原子的磁矩(并没有归一为方向矢量),𝐝ij𝐝_{ij}为DM vector,DM矢量。

宏观(连续情况)

类似于海森堡交换相互作用中有微观的JJ与宏观连续状态下的对应𝑨𝑨,对应于微观的𝐝ij𝐝_{ij},我们也应该有宏观连续状态下的参数,可能是因为没找到更好的名称,我们把这个参数还称为:DD,至于这个参数应是几阶张量,有多少分量,我们下面继续看。(我一般使用的排版约定:标量DD,矢量𝐃𝐃,矩阵𝑫𝑫,更高阶张量D\boldsymbol{\mathsf{D}}\boldsymbol{\mathsf{D}}

首先,在文章中找到有能量密度公式:

(2)

EDM=D𝐦(×𝐦),E_{\mathrm{DM}}=D𝐦\cdot(\mathbf{\nabla}\times𝐦),

其中𝐦𝐦是磁矩𝐒𝐒的方向矢量。根据后面的推导,确定这实际是Bloch type DMI的能量公式。

而对于界面或二维材料中的DMI,倾向于Néel type skyrmion,能量密度公式有[1]

(3)

EDM=D[mz𝐦(𝐦)mz].E_{\mathrm{DM}}=D[m_z\mathbf{\nabla}\cdot𝐦-(𝐦\cdot\mathbf{\nabla})m_z].

而文献中出现的最一般表达式出现在[2]的补充材料中。原文献中的公式稍有错误,我更正后为:

(4)

EDM=γz𝐦(z×𝐦)+γx𝐦(x×𝐦)+γy𝐦(y×𝐦)Bloch type+ξβα(mβαmαmααmβ)Neˊel type,E_{\mathrm{DM}}=\underbrace{\gamma_z𝐦\cdot(\partial_z\times𝐦)+\gamma_x𝐦\cdot(\partial_x\times𝐦)+\gamma_y𝐦\cdot(\partial_y\times𝐦)}_{\text{Bloch type}}+\underbrace{\xi_{\beta\alpha}(m_\beta\partial_\alpha m_\alpha-m_\alpha\partial_\alpha m_\beta)}_{\text{Néel type}},

其中的系数γ,ξ\gamma,\xi​就是DM系数的分量,只是还没有写成整合的数学结构;式子中𝐦(z×𝐦)𝐦\cdot(\partial_z\times𝐦)​代表mμεμzνzmν=myzmxmxzmym_\mu\varepsilon_{\mu z\nu}\partial_z m_\nu= m_y\partial_z m_x-m_x\partial_z m_y​。

DM coefficient 推导(𝐝表示𝐷)

一般情况

假设𝐒𝐒连续,计算在一个体积微元VV中的能量,由(1)得:

(5)

EDM=1Vi<j𝐝ij(𝐒i×𝐒j)=1Vi<j𝐒i𝐒j𝐝ij(𝐦i×𝐦j)=1Vi<jSiSj𝐝ij(𝐦i×𝐦j)\begin{aligned} E_{\mathrm{DM}}&=\frac{1}{V}∑_{i<j} 𝐝_{ij}\cdot\left(𝐒_i\times𝐒_j\right)\\ &=\frac{1}{V}∑_{i<j} |𝐒_i||𝐒_j|𝐝_{ij}\cdot\left(𝐦_i\times𝐦_j\right)\\ &=\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j𝐝_{ij}\cdot\left(𝐦_i\times𝐦_j\right) \end{aligned}

𝐦j𝐦_j泰勒展开

mj=mi+[mxmymz][xijyijzij]+,{\mathbf{m}_{j} = \mathbf{m}_{i} + \begin{bmatrix} \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial x} & \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial y} & \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial z} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{ij} \\ y_{ij} \\ z_{ij} \\ \end{bmatrix} + \ldots, }

其中𝐫ij=(xij,yij,zij)𝐫_{ij}=(x_{ij},y_{ij},z_{ij})是原子i,ji,j之间的位矢。对比海森堡相互作用,我们没有展开到二级,因为一级展开就已经足够。

所以有:

(6)

mi×mj=0+mi×(mxxij+myyij+mzzij){\mathbf{m}_{i} \times \mathbf{m}_{j} = 0 + \mathbf{m}_{i} \times \left( \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial x}x_{ij} + \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial y}y_{ij} + \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial z}z_{ij} \right) }

(7)

EDM=1Vi<jSiSj𝐝ij[mi×(mxxij+myyij+mzzij)]\begin{aligned} E_{\mathrm{DM}}&=\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j𝐝_{ij}\cdot\left[\mathbf{m}_{i} \times \left( \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial x}x_{ij} + \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial y}y_{ij} + \frac{\partial\mathbf{m}}{\partial z}z_{ij} \right) \right]\\ \end{aligned}

写成分量形式,用希腊字母α,λ,μ,ν\alpha,\lambda,\mu,\nu等指代x,y,zx,y,z

(8)

EDM=1Vi<jSiSjdijλελμνmμmνααij=1Vi<jSiSjdijλελμνmμαmναij=(1Vi<jSiSjdijλελμναij)mμαmν\begin{aligned} E_{\mathrm{DM}}&=\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_jd_{ij\lambda}\varepsilon_{\lambda\mu\nu}m_\mu\frac{\partial m_\nu}{\partial \alpha}\alpha_{ij}\\ &=\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_jd_{ij\lambda}\varepsilon_{\lambda\mu\nu}m_\mu\partial_\alpha m_\nu\alpha_{ij}\\ &=\left(\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_jd_{ij\lambda}\varepsilon_{\lambda\mu\nu}\alpha_{ij}\right)m_\mu\partial_\alpha m_\nu \end{aligned}

经过化简,我们发现EDME_{\mathrm{DM}}表达式中𝐦𝐦的出场方式为mμαmνm_\mu\partial_\alpha m_\nu,共有三个下标,说明其系数应该是个三阶张量,也就是上式中括号内的内容(λ\lambda哑指标,求和后消失):

(9)

Dμαν=1Vi<jSiSjdijλελμναij,D_{\mu\alpha\nu}=\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_jd_{ij\lambda}\varepsilon_{\lambda\mu\nu}\alpha_{ij},

而能量公式(7)即变为:

(10)

EDM=DμανmμαmνE_{\mathrm{DM}}=D_{\mu\alpha\nu}m_\mu\partial_\alpha m_\nu

(这种情况下用矢量张量符号已经没有什么意义了,用分量表示足够明了。如果非要写,就是:EDM=D(𝐦𝐦)E_{\mathrm{DM}}=\boldsymbol{\mathsf{D}}\vdots(𝐦\mathbf{\nabla}𝐦),三点乘、并矢都冒出来了。。。对比一下海森堡交换相互作用得到的结果Eex=AαβαmγβmγE_{\mathrm{ex}}=A_{\alpha\beta}\partial_\alpha m_\gamma\partial_\beta m_\gamma。)

明显(9)中的定义过于复杂,甚至有3×3×3=273\times3\times3=27个分量。在海森堡相互作用时,我们得到的系数AαβA_{\alpha\beta},立刻发现其在数学上能对角化得到仅3个独立分量;可惜这里对于公式(9)中DμανD_{\mu\alpha\nu}我不知道纯数学上有什么化简的方法。

因此,后面无论Bloch type还是Néel type的讨论和化简,都引入了物理上的其它限制条件,对DM矢量𝐝ij𝐝_{ij}的方向进行限制,结论也就并不完全地“一般”。

Bloch Type DMI (𝐝平行𝐫)

对于Bloch type(布洛赫型)DMI,[3]磁矩本身转动方向与磁矩随位置变化的方向垂直,可以想象需要𝐝𝐫𝐝\parallel𝐫才能有这样的效果:

𝐝ij=𝐝ij𝐫^ij=dij𝐫^ij=dij𝐫ij/rij𝐝_{ij}=|𝐝_{ij}|\hat{𝐫}_{ij}=d'_{ij}\hat{𝐫}_{ij}=d'_{ij}𝐫_{ij}/r_{ij}

这里我将𝐝𝐝的模长命名为dd'纯粹为了避免和𝐝𝐝的矢量分量dijλd_{ij\lambda}混淆。dijλ=dijrijλijd_{ij\lambda}=\frac{d'_{ij}}{r_{ij}}\lambda_{ij}

因此我们能够化简(9):

(11)

Dμαν=1Vi<jSiSjdijrijλijελμναij=(1Vi<jSiSjdijrijλijαij)ελμν,\begin{aligned} D_{\mu\alpha\nu}&=\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j\frac{d'_{ij}}{r_{ij}}\lambda_{ij}\varepsilon_{\lambda\mu\nu}\alpha_{ij}\\ &=\left(\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j\frac{d'_{ij}}{r_{ij}}\lambda_{ij}\alpha_{ij}\right)\varepsilon_{\lambda\mu\nu}, \end{aligned}

其中括号中的内容可以写成二阶矩阵的形式:

(12)

1Vi<jSiSjdijrijλijαij=(1Vi<jSiSjdijrij𝐫ij𝐫ij)λα,\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j\frac{d'_{ij}}{r_{ij}}\lambda_{ij}\alpha_{ij} = \left(\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j\frac{d'_{ij}}{r_{ij}}𝐫_{ij}𝐫_{ij}\right)_{\lambda\alpha},

其中𝐫ij𝐫ij𝐫_{ij}𝐫_{ij}就是并矢。显然,这个并矢产生的矩阵一定是对称的,也因此一定可以对角化!所以,假设我们计算得到了新的主坐标系,依然标注新坐标轴为x,y,zx,y,z,此时1Vi<jSiSjdijrij𝐫ij𝐫ij\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j\frac{d'_{ij}}{r_{ij}}𝐫_{ij}𝐫_{ij}已经对角化为:

1Vi<jSiSjdijrij𝐫ij𝐫ij=[Dx0Dy0Dz]Dλδλα=Dαδλα\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j\frac{d'_{ij}}{r_{ij}}𝐫_{ij}𝐫_{ij}=\begin{bmatrix} D_{x} & & 0 \\ & D_{y} & \\ 0 & & D_{z} \\ \end{bmatrix}\Leftarrow D_\lambda\delta_{\lambda\alpha}=D_\alpha\delta_{\lambda\alpha}\,

然后(11)可以继续化简为:

Dμαν=Dλδλαελμν=Dαεαμν,\begin{aligned} D_{\mu\alpha\nu}&=D_\lambda\delta_{\lambda\alpha}\varepsilon_{\lambda\mu\nu}\\ &=D_\alpha\varepsilon_{\alpha\mu\nu}, \end{aligned}

相应地,(10)化为:

(13)

EDM=Dαεαμνmμαmν=Dαmμεμαναmν=Dx𝐦(x×𝐦)Dy𝐦(y×𝐦)Dz𝐦(z×𝐦)\begin{aligned} E_{\mathrm{DM}}&=D_\alpha\varepsilon_{\alpha\mu\nu}m_\mu\partial_\alpha m_\nu\\ &=-D_\alpha m_\mu\varepsilon_{\mu\alpha\nu}\partial_\alpha m_\nu\\ &=-D_x𝐦\cdot(\partial_x\times𝐦)-D_y𝐦\cdot(\partial_y\times𝐦)-D_z𝐦\cdot(\partial_z\times𝐦) \end{aligned}

这正好等同于了(4)式中的Bloch type部分!注意系数前面的负号不是什么本质的东西,重新定义DxDxD_x\rightarrow-D_x即可。

如果我们有更好的对称性使得Dx=Dy=Dz=DD_x=D_y=D_z=-D(这里的负号只是为了消除能量公式中的负号而已),那么就能得到更为简洁的公式:

EDM=D𝐦(×𝐦),E_{\mathrm{DM}}=D𝐦\cdot(\mathbf{\nabla}\times𝐦),

也就是公式(2)。

Néel Type DMI 简化版(𝐝垂直𝐫,𝐳)

除了𝐝𝐫𝐝\parallel𝐫,我们非常自然地想到另一种情况就是𝐝𝐫𝐝\perp 𝐫,也就对应着Néel Type DMI。[3:1]

当然,这里一步步慢慢来,先考虑𝐝𝐫𝐝\perp 𝐫同时𝐝𝐳𝐝\perp 𝐳的情况,即

(14)

𝐝ij=𝐝ij𝐳^×𝐫ij𝐳^×𝐫ij=dij𝐳^×𝐫ij𝐳^×𝐫ij,𝐝_{ij}=|𝐝_{ij}|\frac{\hat{𝐳}\times𝐫_{ij}}{|\hat{𝐳}\times𝐫_{ij}|}=d'_{ij}\frac{\hat{𝐳}\times 𝐫_{ij}}{|\hat{𝐳}\times 𝐫_{ij}|},

同上,dd'𝐝𝐝的模长。那么𝐝ij𝐝_{ij}的分量dijd_{ij}可以写为:

dijλ=dijελζηδζzηijxij2+yij2=dijxij2+yij2ελzηηij.\begin{aligned} d_{ij\lambda} &=d'_{ij}\frac{\varepsilon_{\lambda\zeta\eta}\delta_{\zeta z}\eta_{ij}}{\sqrt{x_{ij}^2+y_{ij}^2}}\\ &=\frac{d'_{ij}}{\sqrt{x_{ij}^2+y_{ij}^2}}\varepsilon_{\lambda z \eta}\eta_{ij}. \end{aligned}

带入公式(9):

(15)

Dμαν=1Vi<jSiSjdijxij2+yij2ελzηηijελμναij=1Vi<jSiSjdijxij2+yij2ηijαij(δzμδηνδzνδημ)=1Vi<jSiSjdijxij2+yij2αij(νijδzμμijδzν).\begin{aligned} D_{\mu\alpha\nu}&=\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j\frac{d'_{ij}}{\sqrt{x_{ij}^2+y_{ij}^2}}\varepsilon_{\lambda z \eta}\eta_{ij}\varepsilon_{\lambda\mu\nu}\alpha_{ij}\\ &=\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j\frac{d'_{ij}}{\sqrt{x_{ij}^2+y_{ij}^2}}\eta_{ij}\alpha_{ij}\left(\delta_{z\mu}\delta_{\eta\nu}-\delta_{z\nu}\delta_{\eta\mu}\right)\\ &=\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j\frac{d'_{ij}}{\sqrt{x_{ij}^2+y_{ij}^2}}\alpha_{ij}\left(\nu_{ij}\delta_{z\mu}-\mu_{ij}\delta_{z\nu}\right). \end{aligned}

带入(10):

(16)

EDM=1Vi<jSiSjdijxij2+yij2αij(νijδzμμijδzν)mμαmν=(1Vi<jSiSjdijxij2+yij2αijνij)mzαmν(1Vi<jSiSjdijxij2+yij2αijμij)mμαmz\begin{aligned} E_{\mathrm{DM}}&=\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j\frac{d'_{ij}}{\sqrt{x_{ij}^2+y_{ij}^2}}\alpha_{ij}\left(\nu_{ij}\delta_{z\mu}-\mu_{ij}\delta_{z\nu}\right)m_\mu\partial_\alpha m_\nu\\ &=\left(\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j\frac{d'_{ij}}{\sqrt{x_{ij}^2+y_{ij}^2}}\alpha_{ij}\nu_{ij}\right)m_z\partial_\alpha m_\nu-\left(\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j\frac{d'_{ij}}{\sqrt{x_{ij}^2+y_{ij}^2}}\alpha_{ij}\mu_{ij}\right)m_\mu\partial_\alpha m_z\\ \end{aligned}

好了,到这里了,很多同学感觉,他可以了!自然而然有下面的推导:

按照上面公式(12)处的分析,此处括号内的无论1Vi<jSiSjdijxij2+yij2αijνij\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j\frac{d'_{ij}}{\sqrt{x_{ij}^2+y_{ij}^2}}\alpha_{ij}\nu_{ij}还是1Vi<jSiSjdijxij2+yij2αijμij\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j\frac{d'_{ij}}{\sqrt{x_{ij}^2+y_{ij}^2}}\alpha_{ij}\mu_{ij}都可以同时被对角化,也就是可以被写为DαδανD_\alpha\delta_{\alpha\nu}或者DαδαμD_\alpha\delta_{\alpha\mu},从而得到:

(17)

EDM=DαδανmzαmνDαδαμmμαmz=DνmzνmνDμmμμmz\begin{aligned} E_{\mathrm{DM}}&=D_\alpha\delta_{\alpha\nu}m_z\partial_\alpha m_\nu-D_\alpha\delta_{\alpha\mu}m_\mu\partial_\alpha m_z\\ &=D_\nu m_z\partial_\nu m_\nu - D_\mu m_\mu\partial_\mu m_z \end{aligned}

若有对称性使得Dx=Dy=Dz=DD_x=D_y=D_z=D,就能得到:

EDM=D(mzνmνmμμmz)=D[mz𝐦(𝐦)mz]\begin{aligned} E_{\mathrm{DM}}&=D ( m_z\partial_\nu m_\nu - m_\mu\partial_\mu m_z)\\ &=D[m_z\mathbf{\nabla}\cdot𝐦-(𝐦\cdot\mathbf{\nabla})m_z] \end{aligned}

也就是公式(3)。以上。

可惜,虽然貌似得到了完美的结果,可是过程与假设有重大错误!


点击查看错在哪里

对角化之后我们不能保证新的zz轴与原zz轴相同!一旦zz轴发生变化,我们最开始的公式(14)都是错的,何谈后面的推导。

上面的推导当然不是一无是处,但如果要求正确,必须要zz轴本身就是1Vi<jSiSjdijxij2+yij2αijνij\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j\frac{d'_{ij}}{\sqrt{x_{ij}^2+y_{ij}^2}}\alpha_{ij}\nu_{ij}的主轴方向之一。比如产生DMI的所有原子对关于xyxy平面上下镜面对称,特例是所有DMI原子对在xyxy平面内,并矢矩阵分量有xijzij,yijzijx_{ij}z_{ij},y_{ij}z_{ij}同时还有xijzij,yijzij-x_{ij}z_{ij},-y_{ij}z_{ij},求和后xz,yzxz,yz分量都为0,那么zz轴就是主轴。

注意,我说的是“产生DMI的所有原子对上下镜面对称”,而不是“整个体系上下镜面对称”。如果体系本身也是上下对称的,反而也不会有DMI了,因为上层DM矢量是𝐳^×𝐫ij\hat{𝐳}\times𝐫_{ij},下层按照对称性,不是𝐳^×𝐫ij\hat{𝐳}\times𝐫_{ij}而是𝐳^×𝐫ij-\hat{𝐳}\times𝐫_{ij}了。。。

可以想象,一个体系如果没有上下zz方向镜面对称,但是DMI只在层内(xyxy平面内,“产生DMI的所有原子对上下镜面对称”),那么还是可以有非零DM能量的。

Néel Type DMI 完整版(𝐝垂直𝐫)

下面这段推导我自己也很不满意。。。目前只能先就这样。

现在我们来努力将𝐝𝐫𝐝\perp 𝐫同时𝐝𝐳𝐝\perp 𝐳的情况推广到仅仅𝐝𝐫𝐝\perp 𝐫的情况。

为了尽量使用上面一节的结果,我们做这样的构造,将𝐝𝐝按照𝐱^×𝐫,𝐲^×𝐫,𝐳^×𝐫\hat{𝐱}\times𝐫, \hat{𝐲}\times𝐫, \hat{𝐳}\times𝐫三个基展开:

𝐝ij=fij,x𝐱^×𝐫ij𝐱^×𝐫ij+fij,y𝐲^×𝐫ij𝐲^×𝐫ij+fij,z𝐳^×𝐫ij𝐳^×𝐫ij.𝐝_{ij}=f_{ij,x}\frac{\hat{𝐱}\times𝐫_{ij}}{|\hat{𝐱}\times𝐫_{ij}|}+f_{ij,y}\frac{\hat{𝐲}\times𝐫_{ij}}{|\hat{𝐲}\times𝐫_{ij}|}+f_{ij,z}\frac{\hat{𝐳}\times𝐫_{ij}}{|\hat{𝐳}\times𝐫_{ij}|}.

ff只是系数。容易发现,这么做并不优美,因为明显𝐝𝐫𝐝\perp 𝐫应当仅有两个独立的系数,这里有三个ff,说明这三个ff并不独立。我这么做明显为了方便使用上面已有的结论。同时注意,这里的系数ff与坐标系的选取有关!如果发生选取主轴的情况,也就是更换坐标系,ff也会发生变化!

相应地,仿照(15),我们应该能够直接写出DD的表达式:

Dμαν=1Vi<jSiSjfij,xyij2+zij2αij(νijδxμμijδxν)+1Vi<jSiSjfij,yzij2+xij2αij(νijδyμμijδyν)+1Vi<jSiSjfij,zxij2+yij2αij(νijδzμμijδzν).D_{\mu\alpha\nu}=\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j\frac{f_{ij,x}}{\sqrt{y_{ij}^2+z_{ij}^2}}\alpha_{ij}\left(\nu_{ij}\delta_{x\mu}-\mu_{ij}\delta_{x\nu}\right) + \frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j\frac{f_{ij,y}}{\sqrt{z_{ij}^2+x_{ij}^2}}\alpha_{ij}\left(\nu_{ij}\delta_{y\mu}-\mu_{ij}\delta_{y\nu}\right) + \frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j\frac{f_{ij,z}}{\sqrt{x_{ij}^2+y_{ij}^2}}\alpha_{ij}\left(\nu_{ij}\delta_{z\mu}-\mu_{ij}\delta_{z\nu}\right).

类似地,仿照(16),我们有能量表达式:

(18)

EDM=(1Vi<jSiSjfij,xyij2+zij2αijνij)mxαmν(1Vi<jSiSjfij,xyij2+zij2αijμij)mμαmx+(1Vi<jSiSjfij,yzij2+xij2αijνij)myαmν(1Vi<jSiSjfij,yzij2+xij2αijμij)mμαmy+(1Vi<jSiSjfij,zxij2+yij2αijνij)mzαmν(1Vi<jSiSjfij,zxij2+yij2αijμij)mμαmz.\begin{aligned} E_{\mathrm{DM}}&= &\left(\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j\frac{f_{ij,x}}{\sqrt{y_{ij}^2+z_{ij}^2}}\alpha_{ij}\nu_{ij}\right)m_x\partial_\alpha m_\nu-\left(\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j\frac{f_{ij,x}}{\sqrt{y_{ij}^2+z_{ij}^2}}\alpha_{ij}\mu_{ij}\right)m_\mu\partial_\alpha m_x \\ &&+\left(\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j\frac{f_{ij,y}}{\sqrt{z_{ij}^2+x_{ij}^2}}\alpha_{ij}\nu_{ij}\right)m_y\partial_\alpha m_\nu-\left(\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j\frac{f_{ij,y}}{\sqrt{z_{ij}^2+x_{ij}^2}}\alpha_{ij}\mu_{ij}\right)m_\mu\partial_\alpha m_y\\ &&+\left(\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j\frac{f_{ij,z}}{\sqrt{x_{ij}^2+y_{ij}^2}}\alpha_{ij}\nu_{ij}\right)m_z\partial_\alpha m_\nu-\left(\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j\frac{f_{ij,z}}{\sqrt{x_{ij}^2+y_{ij}^2}}\alpha_{ij}\mu_{ij}\right)m_\mu\partial_\alpha m_z. \end{aligned}

这里一共有6个括号,代表着三个不同的二阶张量(同一行中两个本质相同)。

好,最扯淡的地方来了,我要求三个不同的张量被同时对角化。。。。。。注意,这里的含义是,你为了对角化找到主轴,改变坐标系后,ff要重新计算,矩阵发生变化,你需要继续对角化,直到最终的ff可以不再变化,而三个张量同时被对角化!我只能假设这样的迭代操作是收敛的,三个矩阵同时被对角化是可能的。。。。我不会证。

这样我们会得到:

(19)

EDM=ξx,αmxαmαξx,αmααmx+ξy,αmyαmαξy,αmααmy+ξz,αmzαmαξz,αmααmz=ξβα(mβαmαmααmβ),\begin{aligned} E_{\mathrm{DM}}&= &\xi_{x,\alpha}m_x\partial_\alpha m_\alpha-\xi_{x,\alpha}m_\alpha\partial_\alpha m_x \\ &&+\xi_{y,\alpha}m_y\partial_\alpha m_\alpha-\xi_{y,\alpha}m_\alpha\partial_\alpha m_y\\ &&+\xi_{z,\alpha}m_z\partial_\alpha m_\alpha-\xi_{z,\alpha}m_\alpha\partial_\alpha m_z\\ &=&\xi_{\beta\alpha}(m_\beta\partial_\alpha m_\alpha-m_\alpha\partial_\alpha m_\beta), \end{aligned}

其中ξ\xi就是上面括号中的完成了对角化的二阶张量内容,如:

ξz,α=1Vi<jSiSjfij,zxij2+yij2αij2.\xi_{z,\alpha}=\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_j\frac{f_{ij,z}}{\sqrt{x_{ij}^2+y_{ij}^2}}\alpha^2_{ij}.

也就是是说我们得到(4)中Néel部分的公式。而文献[2:1]的补充材料中的公式(4)书写有笔误,Néel部分写成了ξαβmβαmα\xi_{\alpha\beta}m_\beta\partial_\alpha m_\alpha。明显mβαmα,mααmβm_\beta\partial_\alpha m_\alpha, m_\alpha\partial_\alpha m_\beta是会一同出现在能量项之中,且符号相反。​

当然,上面推导依然存在着那个“扯淡”的点。。所以读者保持谨慎。如果出现问题,需要退回出发点公式(10)进行理解。

本文总结

本文:

  1. 从微观原子尺度下的DMI哈密顿量HDM=i<j𝐝ij(𝐒i×𝐒j)H_{\mathrm{DM}}=∑_{i<j} 𝐝_{ij}\cdot\left(𝐒_i\times𝐒_j\right)推广到宏观连续的DMI能量EDM=DμανmμαmνE_{\mathrm{DM}}=D_{\mu\alpha\nu}m_\mu\partial_\alpha m_\nu
  2. 定义了DM系数,并给出了DM系数DμανD_{\mu\alpha\nu}(宏观)和DM矢量𝐝ij𝐝_{ij}(微观)之间的联系,也就是Dμαν=1Vi<jSiSjdijλελμναijD_{\mu\alpha\nu}=\frac{1}{V}∑_{i<j} S_iS_jd_{ij\lambda}\varepsilon_{\lambda\mu\nu}\alpha_{ij}
  3. 讨论了DM矢量𝐝ij𝐝_{ij}​的方向如何影响DMI的种类,Bloch type或者是Néel type
  4. 公式(4)展示了DMI的种类如何反映在DM系数DμανD_{\mu\alpha\nu}的结构中

本文告诉我们在所有信息都已知的情况下,DMI相关的参数用数学如何表示。但在实际科研中,我们经常需要在信息不全的情况下对DMI的性质进行预测。比如预测材料是否有可能存在非零DMI,甚至不做任何计算就预测材料中的DMI是Bloch type还是Néel type。

这种预测是可能的,因为对于晶体材料,我们拥有大杀器:对称性。下一篇文章↓↓↓,我将分析:对称性与DMI。

对称性与DMI系数
  1. Wang, X.S., Yuan, H.Y. & Wang, X.R. A theory on skyrmion size. Commun Phys 1, 31 (2018). https://doi.org/10.1038/s42005-018-0029-0 ↩︎

  2. Li, Wei et al., Emergence of skyrmions from rich parent phases in the molybdenum nitrides, Phys. Rev. B 93, 060409 (2016). https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.93.060409 Supplemental Material ↩︎ ↩︎

  3. 在一些文章中Bloch type DMI被称为bulk DMI,即块材DMI。相对应地,Néel Type DMI称为interfacial DMI,简写为iDMI,即界面DMI。 ↩︎ ↩︎